Нескінченний добуток

У математиці, для послідовності чисел ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$ нескінченний добуток

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\dots }$

визначається, як границя часткових добутків ${\displaystyle a_{1}a_{2}\dots a_{n}}$ при ${\displaystyle n\to \infty }$. Добуток називається збіжним, коли границя існує і не рівна нулю. В іншому випадку добуток називається розбіжним. Випадок, в якому границя рівна нулю, розглядається окремо, для отримання результатів, аналогічних результатам для рядів.

Властивості

Якщо добуток є збіжним, тоді необхідно виконується гранична рівність ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=1}$. Отже логарифм ${\displaystyle \ln a_{n}\,}$ визначений для всіх ${\displaystyle n}$, за винятком скінченного числа значень, існування яких не впливає на збіжність. Якщо всі члени послідовності ${\displaystyle a_{n}}$ додатні то виконується рівність:

${\displaystyle \ln \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln a_{n},}$

у якій збіжність ряду в правій частині рівносильна збіжності нескінченного добутку в лівій. Це дозволяє переформулювати критерій збіжності ряду в критерій збіжності нескінченних добутків. Для добутків, таких, що для будь-якого ${\displaystyle n}$ виконується ${\displaystyle a_{n}\geqslant 1}$, позначимо ${\displaystyle p_{n}=a_{n}-1}$, тоді маємо ${\displaystyle a_{n}=p_{n}+1}$ і ${\displaystyle p_{n}\geqslant 0}$, звідки слідує нерівність:

${\displaystyle 1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leqslant \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leqslant \exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)}$

яка показує, що нескінченний добуток ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ збігається тоді і тільки тоді, коли збігається ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$.

У випадку ${\displaystyle 0<a_{n}<1}$ для будь-якого ${\displaystyle n}$ збіжність нескінченного добутку ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ також еквівалентна збіжності ряду ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$. У загальному випадку збіжность рядів ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}}$ і ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n}^{2}}$ є достатньою умовою збіжності ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}}$.

Приклади

Найбільш відомі приклади нескінченних добутків, деякі формули для ${\displaystyle \pi }$, такі як наступні два нескінченні добутки, доведені відповідно Франсуа Вієтом і Джоном Валлісом

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right)}$

Представлення функції у вигляді нескінченного добутку

Один важливий результат про нескінченні добутки — те, що будь-яка ціла функція ${\displaystyle f}$, з коренями ${\displaystyle \{0\}\cup \{a_{n}\}}$, де точка 0 — корінь порядку ${\displaystyle \lambda }$, може бути представлена у вигляді нескінченного добутку виду

${\displaystyle f(z)=z^{\lambda }e^{h(z)}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{2}+\dots +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}}\right)}$,

де ${\displaystyle h}$ — деяка ціла функція, а невід'ємні цілі числа ${\displaystyle p_{n}}$ підібрані так, щоб ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{p_{n}+1}}$ сходився. При ${\displaystyle p_{n}=0}$ відповідна множнику номер ${\displaystyle n}$ експонента опускається (вважається рівною ${\displaystyle \exp(0)=1}$).

Приклади

Синус	${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$
Гамма-функція	${\displaystyle 1/\Gamma (z)=z\;{\mbox{e}}^{\gamma z}\;\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)\;{\mbox{e}}^{-z/n}}$
Сигма-функція Вейєрштрасса	${\displaystyle \sigma (z)=z\prod _{\omega \in \Lambda _{*}}\left(1-{\frac {z}{\omega }}\right)e^{{\frac {1}{2\omega ^{2}}}z^{2}+{\frac {1}{\omega }}z}}$
Дзета-функція Рімана	${\displaystyle \zeta (z)=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(1-p_{n}^{-z})}}}$	де pn — послідовність простих чисел.

Див. також

• Формула Валліса

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Weisstein, Eric W. Нескінченний добуток(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.