Нерівність Чебишова для сум чисел

Для нерівності в теорії ймовірностей — див. Нерівність Чебишова.

Нерівність Чебишова для сум чисел, названа на честь Пафнутія Львовича Чебишова, стверджує, що якщо

${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}}$

і

${\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n},}$

то

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geqslant \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$

Аналогічно, якщо

${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}}$

і

${\displaystyle b_{1}\leqslant b_{2}\leqslant \cdots \leqslant b_{n},}$

то

${\displaystyle {1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leqslant \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).}$

Доведення

Нерівність Чебишова легко вводиться з нерівності перестановок:

Припустимо, що

${\displaystyle a_{1}\geqslant a_{2}\geqslant \cdots \geqslant a_{n}\,}$

і

${\displaystyle b_{1}\geqslant b_{2}\geqslant \cdots \geqslant b_{n}.\,}$

Зважаючи на нерівність перестановок вираз

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\,}$

є максимально можливим значенням скалярного добутку даних послідовностей. Додаючи нерівності

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}\,}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{2}+a_{2}b_{3}+\cdots +a_{n}b_{1}\,}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+\cdots +a_{n}b_{2}\,}$

${\displaystyle \vdots \,}$

${\displaystyle a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n}\geqslant a_{1}b_{n}+a_{2}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n-1}\,}$

одержуємо

${\displaystyle n(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})\geqslant (a_{1}+\cdots +a_{n})(b_{1}+\cdots +b_{n});}$

або, розділивши на ${\displaystyle n^{2}}$:

${\displaystyle {\frac {(a_{1}b_{1}+\cdots +a_{n}b_{n})}{n}}\geqslant {\frac {(a_{1}+\cdots +a_{n})}{n}}\cdot {\frac {(b_{1}+\cdots +b_{n})}{n}}.}$

Неперервний випадок

Існує також неперервний аналог нерівності Чебишова:

Якщо f(x) і g(x) — дійсні інтегровні на [0,1] функції, одночасно зростаючі чи спадні, то

${\displaystyle \int \limits _{0}^{1}f(x)g(x)\,dx\geqslant \int \limits _{0}^{1}f(x)\,dx\int \limits _{0}^{1}g(x)\,dx.\,}$

Посилання

• Нерівність Чебишова на PlanetMath.(англ.)
• Weisstein, Eric W. Нерівність Чебишова для сум чисел(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.