Найкоротша

Найкоротша — термін метричної геометрії, що означає криву, яка з'єднує дві точки метричного простору і довжина цієї кривої буде найменшою серед усіх кривих з кінцями у цих точках.

Найкоротших може бути декілька. Наприклад, на сфері діаметрально протилежні точки з'єднуються безліччю найкоротших.

Пов'язані визначення

• Підпростір називається геодезичним підпростором, якщо будь-які дві точки підпростору можна з'єднати найкоротшою і, вона належить підпростору.
• Геодезична лінія — крива в метричному просторі, яка в малому околі є найкоротшою.

Приклади

• Пряма буде геодезичним підпростором площини або простору Eⁿ, (n>1).
• Площина буде геодезичним підпростором простору Eⁿ, (n>2).
• Коло буде геодезичним підпростором сфери Sⁿ, (n>1).

Властивості

• У повному просторі з внутрішньої метрикою довжина найкоротшої збігається з відстанню між її кінцями.
• Теорема Гопфа — Рінова: В локально компактному просторі з внутрішньої метрикою існує найкоротша між будь-якими двома точками.
• У загальному випадку між точками метричного простору найкоротшої може не існувати.