Вихованець ДЮСШ (Сміла), де навчався футболу під керівництвом А. С. Кривенка і республіканського спортінтернату, в якому тренувався у Федора Медвідя[1].
На дорослому рівні розпочав грати у нижчоліговому СКА (Київ), а 1987 року потрапив до складу «Динамо» (Київ), де тривалий час грав виключно за дублерів. Дебютував за першу команду «біло-синіх» в 1990 році. Всього провів у складі київського «Динамо» 58 матчів (8 з них у єврокубках) і забив один гол.
У 1993 році пограв у вищій лізі за рівненський «Верес», після чого тривалий час виступав за кордоном, спочатку в ізраїльських клубах, а потім російських.
Юрій Мороз постійно викликався до лав юнацьких збірних СРСР: у 1987 році він став переможцем світової першості серед 17-річних та срібним призером чемпіонату Європи у тій же віковій групі. Два роки потому брав участь у молодіжному чемпіонаті світу у Саудівській Аравії.
У складі олімпійської збірної СРСР Мороз провів одну гру, відігравши 90 хвилин у відбірковому матчі XXV Олімпіади проти норвежців.
Після розпаду СРСР Юрій Мороз отримав українське громадянство та вирішив виступати саме за збірну України. Проте провів у складі головної команди країни лише один матч — у червні 1992 на виїзді проти збірної США.
З сезону 2014/15 став працювати у київському «Динамо», де спочатку був асистентом молодіжної команди. У сезоні 2016/17 був головним тренером юнацької команди «Динамо» (U-19), після чого очолив молодіжну команду клубу[2], яку тренував до її розформування у червні 2021 року
З 26 червня 2021 року до 30 грудня 2021 року — головний тренер одеського «Чорноморця».
