Метод квадратного кореня

Метод квадратного кореня — метод, що застосовується для розв'язку СЛАР з симетричною матрицею коефіцієнтів при змінних.

Цей метод відноситься до категорії точних чисельних методів.^[1]

Якщо в системи лінійних алгебраїчних рівнянь ${\displaystyle Ax=b}$ матриця ${\displaystyle A}$ є невиродженою (${\displaystyle detA\neq 0}$) та симетричною (${\displaystyle A=A^{T}}$), то розв'язок можна знайти методом квадратного кореня.

Опис методу

Метод використовується для СЛАР виду:$${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+{...}+a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+{...}+a_{2n}x_{n}=b_{2}\\{................................}\\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+{...}+a_{nn}x_{n}=b_{n}\end{cases}},}$$

де ${\displaystyle a_{ij}=a_{ji}(i={\overline {1,n}};j={\overline {1,n}})}$.

Процес розв'язання СЛАР складається з двох етапів:

1. Прямий хід, при якому початкова симетрична матриця прирівінюється добутком двох взаємно транспонованих трикутних матриць: ${\displaystyle A=U^{T}\cdot {U}}$
2. Обернений метод квадратного кореня, при якому відбувається послідовне розв'язання двох трикутних систем:

$${\displaystyle {\begin{matrix}U^{T}y=b;\\Ux=y\end{matrix}}}$$^[2]

Прямий хід

Обернений метод квадратного кореня

.^[1]

LDL-розклад матриці

Матриця ${\displaystyle A}$ симетрична, то ми можемо розкласти її на добуток матриць ${\displaystyle A=LDL^{T}}$, де ${\displaystyle \ L}$ — одинична нижня трикутна матриця; ${\displaystyle \ D}$ — діагональна матриця.

Отримаємо систему:

${\displaystyle LDL^{T}\cdot x=b}$

Розв'язок ${\displaystyle x}$ отримаємо послідовно розв'язавши дві трикутні СЛАР:

${\displaystyle LD\cdot y=b}$ та

${\displaystyle L^{T}\cdot x=y}$.

Порівняно з загальнішими методами (метод Гауса чи LU-розклад матриці) він стійкіший і потребує вдвічі менше арифметичних операцій.

1. Верещак, Ростислав (8 червня 2014). Розв'язок СЛАР методом квадратних коренів (укр.). Процитовано 13 листопада 2023.
2. Шахно, Дудикевич, Левицька, С.М., А.Т., С.М. (2009). Практична реалізація чисельних методів лінійної алгебри (українська) . Львів: Видавничий центр ЛНУ ім. Івана Франка. с. 13—16.