Логіцизм

Логіцизм — один з основних напрямків обґрунтування математики і філософії математики, що ставить за мету зведення вихідних математичних понять до понять логіки. Двома іншими основними напрямками є інтуіціонізм і формалізм^[1].

Думка про зведення математики до логіки була висловлена Ляйбніцем наприкінці 17ст. Практичне здійснення логіцестичної тези було зроблено наприкінці 19 — початку 20 ст. у роботах Фреге, і у «Principia mathematica» під авторством Вайтхеда і Расселла^[2].

Погляд на математику як на частину логіки зумовлений тим, що будь-яку математичну теорему в аксіоматичній системі можна розглядати як деяке твердження про логічне слідування. Залишається тільки всі константи, що зустрічаються в таких твердженнях визначити через логічні терміни. До кінця XIX століття в математиці різні види чисел, включаючи комплексні, були визначені в термінах натуральних чисел і операцій над ними. Спроба зведення натуральних чисел до логічних понять була зроблена Готлобом Фреге. В інтерпретації Фреге натуральні числа були кардинальними числами деяких понять. Однак система Фреге не позбавлена суперечностей. Це з'ясувалося, коли Расселл виявив протиріччя в Канторовій теорії множин (див. парадокс Расселла), намагаючись звести її до логіки. Виявлене протиріччя спонукало Расселла до перегляду поглядів на логіку, яку він сформулював у вигляді теорії розгалужених типів. Однак побудова математики на основі теорії типів потребувала прийняття аксіом, які неприродно вважати виключно логічними^[2]. До них належать, наприклад, аксіома нескінченності, яка стверджує, що існує нескінченно багато індивідів, тобто об'єктів найнижчого типу.

Ряд авторів вважає, що з певними змінами логічного апарату Расселла логіцизм прийнятний^[3], інші ж вважають що спроба зведення математики до логіки не вдалася, і ідея логіцізму виявилася утопічною. У 1931 році Гедель довів що жодна формалізована система логіки не може бути адекватною базою математики^[2].

Література

• Frege G., Grundgesetze der Arithmetik, begriffschriftlich abgeleitet, Bd 1-2, Jena, 1893-1903;
• Whitehead AN, Russell В., Principia Mathematica, Gamb., 1910;
• Godel K., «Monatsh. Math, und Phys. », 1931, Bd 38, S. 173-98;
• Каррі Х., Підстави математичної логіки, пер. з англ., М., 1969;
• Френкель А.- А., Бар-Хиллел Н., Підстави теорії множин, пров. з англ., М., 1966.
• Суровцев В. А. Ф. П. Рамсей і програма логіцізма [Архівовано 23 грудня 2018 у Wayback Machine.] . - Томськ: Изд-во. Том. ун-ту, 2012. - 258 с.

1. Н.Н. Непейвода.  // Энциклопедия эпистемологии и философии науки.. — М.: «Канон+», РООИ «Реабилитация», 2009..
2.  // Философия: Энциклопедический словарь.. — М.: Гардарики. Под редакцией А.А. Ивина., 2004.
3. Irvine, A. D.  // The Stanford Encyclopedia of Philosophy. — 2010.