У 1922 році у фіналі кубка Угорщини «Уйпешт» грав з «Ференцварошем» і Кошавідзначився голом уже на 73-й хвилині матчу, а сам матч завершився нічиєю 2:2[1]. У переграванні «Уйпешт» поступився з рахунком з рахунком 0:1[2]. За рік клуб знову дійшов до фіналу змагань, але Лайош у вирішальній грі не грав.
Загалом у складі «Уйпешта» зіграв у чемпіонаті 83 матчі і забив 16 голів.