Конгруенція

Конгруенція — відношення еквівалентності на алгебричній структурі, що зберігається за основних операцій. Поняття відіграє важливу роль в універсальній алгебрі: будь-яка конгруенція породжує відповідну фактор-структуру — розбиття початкової алгебричної структури на класи еквівалентності відносно конгруенції.

Визначення

Відношення ${\displaystyle \theta (x_{1},\ldots ,x_{m})}$ на множині ${\displaystyle A}$ називають стабільним відносно ${\displaystyle n}$-арної операції ${\displaystyle f}$, визначеної на цій множині, якщо для будь-яких елементів ${\displaystyle a_{i1},\ldots ,a_{im}}$ (${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$) множини ${\displaystyle A}$ з істинності відношень ${\displaystyle \theta (a_{i1},\ldots ,a_{im})}$ (${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$) випливає істинність відношення ${\displaystyle \theta (f(a_{11},\ldots ,a_{n1}),\ldots ,f(a_{1m},\ldots ,a_{nm}))}$.

Відношення ${\displaystyle \theta }$ називають конгруенцією на алгебричній системі ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$, якщо воно стабільне відносно кожної з головних операцій системи ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. (За такого визначення поняття конгруенції не залежить від основних відношень системи ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$.)

Фактор-структура

Для алгебричної системи ${\displaystyle {\mathfrak {A}}=(A,{\mathit {\Phi }},{\mathit {\mathrm {P} }})}$ на фактор-множині ${\displaystyle A/\theta }$ за конгруенцією ${\displaystyle \theta \subseteq A^{2}}$ для всіх операцій ${\displaystyle f_{i}\in {\mathit {\Phi }}}$ і відношень ${\displaystyle r_{i}\in {\mathit {\mathrm {P} }}}$ природним чином вводяться операції і відношення над відповідними класами суміжності:

${\displaystyle f_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{n}]_{\theta })=[f_{i}(a_{1},\dots ,a_{n})]_{\theta }}$,

${\displaystyle r_{i}^{\star }([a_{1}]_{\theta },\dots ,[a_{m}]_{\theta })\Leftrightarrow \exists (b_{1}\in [a_{1}]_{\theta },\dots ,b_{m}\in [a_{m}]_{\theta })r_{i}(b_{1},\dots ,b_{m})}$.

Отримана система позначається ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\theta }$ і називається фактор-структурою, а відображення ${\displaystyle h_{\theta }\colon {\mathfrak {A}}\to {\mathfrak {A}}/\theta }$, яке визначається правилом ${\displaystyle h_{\theta }(a)=[a]_{\theta }}$ — канонічним епіморфізмом.

Множина всіх конгруенцій даної системи ${\displaystyle \mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})}$ утворює повну ґратку відносно операцій об'єднання та перерізу, а також задає відношення включення:

${\displaystyle \theta _{1}\leqslant \theta _{2}\Leftrightarrow \forall a,b\in A\,a\,\theta _{1}\,b\to a\,\theta _{2}\,b}$.

Для будь-якого набору конгруенцій заданої алгебричної системи ${\displaystyle \{\theta _{i},i\in I\}\subseteq \mathrm {Con} ({\mathfrak {A}})}$ має місце такий результат (теорема Ремака): фактор-структура за перерізом набору конгруенцій вкладається в прямий добуток фактор-структур за кожною з конгруенцій набору:

${\displaystyle {\mathcal {A}}/\bigcap _{i\in I}{\theta _{i}}\hookrightarrow \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}/\theta _{i}}}$.

Джерела

• Bourbaki. Algebra, Part I. — Hermann, 1973. — С. 516. — (Елементи математики)(англ.)
• Кон П. Универсальная алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 351 с.(рос.)
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — Москва : Наука, 1970. — 392 с.(рос.)
• Артамонов В.А., Салий В.Н., Скорняков Л.А. и др. Общая алгебра / Под ред. Л.А.Скорнякова. — М. : Наука, 1991. — Т. 2. — 480 с. — (СМБ) — ISBN 5-02-014427-4.(рос.)