Визначник Грама

Визначник Грама системи векторів e₁, e₂, ..., e_n в евклідовому просторі називається визначник матриці Грама цієї системи:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}\langle e_{1},e_{1}\rangle &\langle e_{1},e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{1},e_{n}\rangle \\\langle e_{2},e_{1}\rangle &\langle e_{2},e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{2},e_{n}\rangle \\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\\langle e_{n},e_{1}\rangle &\langle e_{n},e_{2}\rangle &\ldots &\langle e_{n},e_{n}\rangle \\\end{vmatrix}}}$

де ${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle }$ — скалярний добуток векторів e_i та e_j.

Матриця Грама виникає з наступної задачі лінійної алгебри:

нехай в евклідовому просторі V система векторів e₁, e₂, ..., e_n породжує підпростір U. Знаючи, чому дорівнюють скалярні добутки вектора x з U з кожним з цих векторів, знайти коефіцієнти розкладення вектора x по векторам e₁, e₂, ..., e_n.
Виходячи з розкладення x = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_ne_n отримаємо систему лінійних рівнянь з матрицею Грама:

${\displaystyle {\begin{cases}\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\dots +\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{1},\mathbf {x} \rangle \\\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\dots +\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{2},\mathbf {x} \rangle \\\quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \dots \quad \\\langle \mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{1}\rangle x_{1}+\langle \mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{2}\rangle x_{2}+\dots +\langle \mathbf {e} _{n},\mathbf {e} _{n}\rangle x_{n}=\langle \mathbf {e} _{n},\mathbf {x} \rangle \\\end{cases}}}$

Ця задача має єдиний розв'язок тоді і тільки тоді, коли вектори e₁, e₂, ..., e_n лінійно незалежні. Через це рівність нулю визначника Грама системи векторів — критерій їх лінійної залежності.

Геометрична інтерпретація визначника Грама

Визначник Грама системи векторів дорівнює квадрату об'єму паралелограма натягнутого на ці вектори.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2024. — 703 с.(укр.)