Визначені інтеграли без явних первісних

Визначені інтеграли без явних первісних

Деякі функції, чиї первісні не можуть бути представлені явно, тим не менш їхні деякі визначені інтеграли можуть бути обчислені.

Інтеграли, що пов'язані з Гамма-фунцією

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{n-1}\,e^{-x}\,dx}=\int _{0}^{1}{\left(\ln {\frac {1}{x}}\right)^{n-1}\,dx}=\Gamma (n)=(n-1)!}$   (де ${\displaystyle \Gamma (x)\!}$ — Гамма-функція)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\sqrt {x}}\,e^{-x}\,dx}=\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{n}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2a^{n+1}}}}$,  де ${\displaystyle a>0\!}$; (дивись також Гамма-функція)

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}dx}={\frac {{\sqrt {\nu \pi }}\ \Gamma (\nu /2)}{\Gamma ((\nu +1)/2)}}\,}$,  де ${\displaystyle \nu >0\,}$,  має відношення до функція густини ймовірності для T-розподілу Стьюдента

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{m-1}\,(1-x)^{n-1}\,dx}={\frac {\Gamma (m)\,\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}=B(m,n)}$,  де ${\displaystyle m,n\,>\,0\!}$, а ${\displaystyle B(m,n)\!}$ — Бета-функція

${\displaystyle \int _{0}^{a}{x^{m-1}\,(a-x)^{n-1}\,dx}=a^{m+n-1}\,{\frac {\Gamma (m)\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}=a^{m+n-1}\,B(m,n)}$,  де ${\displaystyle a,m,n\,>\,0\!}$  й ${\displaystyle B(m,n)\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{{\frac {x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}}}\,dx}={\frac {\Gamma (m)\,\Gamma (n)}{\Gamma (m+n)}}=B(m,n)}$,  де ${\displaystyle m,n\,>\,0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{{\frac {x^{m}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx}}$	${\displaystyle ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\,{\frac {\Gamma \left({\frac {m+1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m+2}{2}}\right)}}}$,  коли ${\displaystyle m\,>\,-1\!}$  й ${\displaystyle m\!}$ довільне число;
	${\displaystyle ={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot (m-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot ...\cdot m}}}$,  коли ${\displaystyle m\,>\,1\!}$ й ${\displaystyle m\!}$ непарне число;
	${\displaystyle ={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (m-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot ...\cdot m}}\,{\frac {\pi }{2}}}$,  коли ${\displaystyle m\,>\,0\!}$ й ${\displaystyle m\!}$ парне число;

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{m}+{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx}={\frac {1}{m+2}}\,\int _{0}^{1}{{\frac {x^{m}}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx}}$,  де ${\displaystyle m\!}$ довільне число й ${\displaystyle m\,>\,-1\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{n}}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{n}}\,{\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)}}}$,  де ${\displaystyle n\,>\,0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{m}\,dx}{\sqrt {1-x^{n}}}}={\frac {\sqrt {\pi }}{n}}\,{\frac {\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)}{\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}+{\frac {1}{2}}\right)}}}$,  де ${\displaystyle m+1,n\,>\,0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{m}\,(1-x^{2})^{p}\,dx}={\frac {\Gamma (p+1)\Gamma \left({\frac {m+1}{2}}\right)}{2\Gamma \left(p+{\frac {m+3}{2}}\right)}}}$,  де ${\displaystyle p+1,m+1\,>\,0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{x^{m}\,(1-x^{n})^{p}\,dx}={\frac {\Gamma (p+1)\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)}{n\Gamma \left(p+1+{\frac {m+1}{n}}\right)}}}$,  де ${\displaystyle p+1,m+1,n\,>\,0\!}$

Інші інтеграли

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}\,dx}{1+x}}=(-1)^{n}\left[\ln {2}-1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+...+{\frac {(-1)^{n}}{n}}\right]}$, де ${\displaystyle n\,=\,1,2,3,...\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n-1}\,dx}{1+x^{m}}}={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+m}}+{\frac {1}{n+2m}}-{\frac {1}{n+3m}}+...}$,  де ${\displaystyle m,n\,>\,0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x+x^{2}}}={\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {dx}{1-x+x^{2}}}={\frac {2\pi }{3{\sqrt {3}}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{p-1}\,dx}{(1-x)^{p}}}={\frac {\pi }{\sin {p\pi }}}}$,  де ${\displaystyle 0\,<\,p\,<\,1\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{{\frac {x^{p}+x^{-p}}{1+x^{2}}}\,dx}={\frac {\pi }{2\cos {\frac {p\pi }{2}}}}}$,  де ${\displaystyle -1\,<\,p\,<\,1\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}}$ (Гаусовий інтеграл)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{xe^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {1}{2a^{2}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {\sqrt {\pi }}{4a^{3}}}}$, де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2i+1}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {a!}{2a^{2i+2}}}}$, де ${\displaystyle a>0;\;\;\!i=1,2,3...}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{x^{2i+1}e^{-a^{2}x^{2}}\,dx}={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2i-1)}{2^{i+1}a^{2i+1}}}{\sqrt {\pi }}}$, де ${\displaystyle a>0;\;\;\!i=1,2,3...}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$ (дивись також числа Бернуллі)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{x}-1}}\,dx}={\frac {\pi ^{4}}{15}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {1}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {\ln {2}}{a}}}$ де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {\pi ^{2}}{12a^{2}}}}$ де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{{\frac {x^{3}}{e^{ax}+1}}\,dx}={\frac {7}{120}}{\frac {\pi ^{4}}{a^{4}}}}$ де ${\displaystyle a>0\!}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots \cdot (n-1)}{2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot n}}{\frac {\pi }{2}}}$ (якщо n парне число і ${\displaystyle \scriptstyle {n\geq 2}}$)

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin ^{n}{x}\,dx=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{n}{x}\,dx={\frac {2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots \cdot (n-1)}{3\cdot 5\cdot 7\cdot \cdots \cdot n}}}$ (якщо ${\displaystyle \scriptstyle {n}}$ непарне число і ${\displaystyle \scriptstyle {n\geq 3}}$)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&|\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$ (для цілих ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n}$ з ${\displaystyle \scriptstyle \beta \neq 0}$ і ${\displaystyle \scriptstyle m,n\geq 0}$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\cos ^{n}(\beta x)dx=0}$ (для дійсних ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta }$ і невід'ємного цілого ${\displaystyle \scriptstyle n}$, дивись також Симетрія)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}(-1)^{(n+1)/2}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\mbox{ odd}},\ \alpha =\beta (2m-n)\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$ (для цілих ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n}$ з ${\displaystyle \scriptstyle \beta \neq 0}$ і ${\displaystyle \scriptstyle m,n\geq 0}$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

${\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos(\alpha x)\sin ^{n}(\beta x)dx=\left\{{\begin{array}{cc}(-1)^{n/2}(-1)^{m}{\frac {2\pi }{2^{n}}}{\binom {n}{m}}&n{\mbox{ even}},\ |\alpha |=|\beta (2m-n)|\\0&{\mbox{otherwise}}\\\end{array}}\right.}$ (для цілих ${\displaystyle \scriptstyle \alpha ,\beta ,m,n}$ з ${\displaystyle \scriptstyle \beta \neq 0\!}$ та ${\displaystyle \scriptstyle m,n\geq 0\!}$, дивись також Біноміальний коефіцієнт)

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin ^{2}{x}}{x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(ax^{2}+bx+c)}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\exp \left[{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right]}$ (де ${\displaystyle \exp[u]\!}$ експонента ${\displaystyle e^{u}}$, і ${\displaystyle a>0\!}$)

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta }d\theta =2\pi I_{0}(x)}$ (де ${\displaystyle I_{0}(x)\!}$ модифікована Функція Бесселя першого роду)

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }e^{x\cos \theta +y\sin \theta }d\theta =2\pi I_{0}\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\ln \sin x\,dx=-\,{\frac {\pi }{2}}\ln 2}$

Для загального випадку, якщо первісної не існує, застосовується метод вичерпання:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)\,dx}=(b-a)\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\sum \limits _{m=1}^{2^{n}-1}{\left({-1}\right)^{m+1}}}2^{-n}f(a+m\left({b-a}\right)2^{-n}).}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}[\ln(1/x)]^{p}\,dx=p!}$

Джерела

• Двайт Г. Б. Определённые интегралы // Таблицы интегралов и другие математические формулы / пер. с англ. Н. В. Леви ; под ред. К. А. Семендяева. — М. : Наука, 1978. — С. 180-222. (рос.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)