З 1992 року працює у Міністерстві закордонних справ Словаччини. Був другим секретарем посольства в Німеччині (1993—1996), речником міністерства (1996—1997), виконувачем обов'язків директора департаменту аналізу та планування (1997—1998), радником і тимчасовим повіреним у справах у посольстві Швейцарії (1998—1999), заступником постійного представника Словаччини при НАТО (1999—2001) і генеральний директором секції міжнародних організацій та політики безпеки МЗС (2001—2002)[3].
У 2002—2005 роках уперше обіймав посаду держсекретаря в МЗС[3]. Представляв словацький уряд у Європейському Конвенті[4]. 2003 року керував словацькою робочою групою, яка вела переговори щодо умов вступу в НАТО. 2005 року призначений послом, очоливши дипломатичне представництво в Німеччині. 2009 року став постійним представником Словаччини при ЄС, обіймаючи цю посаду до 2015 року. Після повернення в країну знову став держсекретарем у Міністерстві закордонних справ[3]. Перебував на цій посаді до 2018 року, після чого був призначений послом Словаччини у США[5].
У березні 2020 року партія «Свобода і солідарність» рекомендувала його на посаду міністра закордонних і європейських справ в уряді прем'єр-міністра Ігоря Матовича[6]. Проте він не зміг отримати призначення в день утворення уряду — під час затвердження він усе ще перебував у США, а це означало, що після повернення до Словаччини йому довелося відбути карантин у зв'язку з пандемією COVID-19. Обов'язки міністра тимчасово перебрав на себе Ріхард Сулик[7][8]. Таким чином Корчок склав присягу і обійняв посаду в квітні 2020 року[9]. 24 березня 2021 року подав у відставку на тлі хвилі відставок в уряді Словаччини, який зазнав критики за свою реакцію на епідемію COVID-19 у країні,[10] через що президент Зузана Чапутова вимагала відставки прем'єр-міністра Ігоря Матовича[11]. 1 квітня 2021 року Корчок був повторно призначений на ту саму міністерську посаду вже в уряді Едуарда Геґера[12], обіймав її до 17 вересня 2022 року.
2018 року став лауреатом Чеської та Словацької Трансатлантичної премії[13].
2024 року брав участь у чергових президентських виборах як кандидат у Президенти Словаччини. Отримав перевагу в першому турі[14], але в другому отримав 47 % підтримки, проте більшість голосів (53 %) та, відповідно, перемогу здобув Петер Пеллегріні[15].