Diyarbakır'ın altyapısından yetişen oyuncu, 26.08.2004 tariinde Diyarbakırspor ile profesyonelliğe geçiş yaptı.
Diyarbakırspor'da üç sezon forma giyip yıldızını parlattı büyük kulüplerin gözdesi haline gelmişti Diyarbakır'da iken yarım sezon Gaziantep Belediyespor'da kiralık oynadı ve orada 2. Lig Şampiyonluğu kazandı. Diyarbakırspor'da büyük bir başarı gösterip 2007 yılında Gençlerbirliği'ne transfer olmuştur.
2008 yılında, Gençlerbirliği'nde, kulüp taraftarlarının oylarıyla, "Yılın Futbolcusu" seçilmiştir.
2010-2011 sezonu için 20 Mayıs 2010 tarihinde 600.000 EUR bonservis bedeli karşılığında Eskişehirspor'a transfer olmuştur. Eskişehirspor'da iki buçuk sezon oynayan Burhan Eşer, 19 Temmuz 2012 tarihinde Eskişehirspor ile sözleşmesini karşılıklı feshetmiştir. 2012-13 sezonu devre arasında Mersin İdman Yurdu'na transfer olmuştur.
4 Haziran 2013 günü Sivasspor'a transfer olan oyuncu,[1] burada 4 başarılı sezon geçirmiş, 2016-2017 sezonunda takımının 1. Lig Şampiyonluğuna katkı yapmıştır. Ayrıca 2013-14 Süper Lig sezonunun 11.haftasında oynanan takımı Sivasspor - Bursaspor maçının 59.dakikasında attığı gol ile Sivasspor'un Süper Lig tarihindeki 400.golüne imza atmıştır.[2]
2017-2018 sezonunu BB Erzurumspor'da geçiren oyuncu burada da 1. Lig Play Off Şampiyonluğu yaşayarak takımının Süper Lige çıkmasına destek oldu.
2018-2019 sezonunda Osmanlıspor'da oynadı burada da 1. Lig Play Offuna yükselse de Şampiyon olamadılar.
7 kez millî takımlara çağrılan Burhan Eşer, 2 kez Türkiye U-20, 3 kez Türkiye U-21, 1 kez de Türkiye A2 forması olmak üzere toplam 6 kez millî formayı giymiştir.[3]
Başarıları
2004-2005 sezonu 2. Lig Şampiyonluğu (Gaziantep Belediyespor ile)
2016-2017 sezonu 1. Lig Şampiyonluğu (Sivasspor ile)
2017-2018 sezonu 1. Lig Play Off Şampiyonluğu (BB Erzurumspor ile)