Birim vektör

Matematikte, uzunluğu 1 (birim uzunluğu) olan ve uzayda bir norma sahip olan vektöre birim vektör denir. Birim vektör genellikle ‘û‘ gibi şapkalı ve küçük harflerle ifade edilir. Normalize vektör veya versor olmayan bir sıfır vektörü u ile eş yönlü olan birim vektörü u

${\displaystyle \mathbf {\hat {u}} ={\frac {\mathbf {u} }{\|\mathbf {u} \|}}}$

Mutlak u,u vektörünün normunu (veya uzunluğunu) verir. Bu normalize vektör bazen birim vektörün eş anlamı olarak da kullanılır. Bir kaynağın veya bir ilkenin elementleri birim vektör olmak üzere seçilebilir. Uzaydaki her vektör birim vektörün linear bileşenleri olarak yazılabilir. En çok rastlanılan kaynaklar Kartezyen, polar ve küresel koordinatlarıdır. Her biri, koordinat sisteminin simetrisine göre farklı birim vektörleri kullanır. Bu sistemler çok farklı içeriklere sahip oldukları için burada kullanıldıklarından daha farklı bir kullanıma rastalamak pek yaygın değildir. Tanım olarak, Öklid geometrisi’nde iki birim vektörün nokta çarpımı basitçe aralarındaki açının cosinüsüdür. Üç boyutlu Öklid geometrisi’nde ise, iki dikey birim vektörün çapraz çarpımı diğer bir birim vektöre eşittir.

Dikey koordinatlar

Kartezyen koordinatlar

Birim vektörler, Kartezyen koordinat sisteminin eksenlerini ifade etmek için de kullanılabilir. Örneğin, üç boyutlu x,y,z eksenlerinde eş yönlü birim vektörün Kartezyen koordinat sistemi;

${\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ={\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {j}} ={\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}},\,\,\mathbf {\hat {k}} ={\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Bazen Versor’un koordinat sistemi olarak da bahsedilir. Genellikle, standart birim vektör işaretlerinden() farklı olarak normal vektör işaretleri (i ya da) ile gösterilirler. Birçok yerde i,j i, j, k, ve(${\displaystyle {\vec {\imath }},}$ ${\displaystyle {\vec {\jmath }},}$ ve ${\displaystyle {\vec {k}}}$)3D Kartezyen koordinat sisteminin versorları olarak varsayılabilir. Ayrıca bu işaretler ${\displaystyle (\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}} )}$, ${\displaystyle (\mathbf {\hat {x}} _{1},\mathbf {\hat {x}} _{2},\mathbf {\hat {x}} _{3})}$, ${\displaystyle (\mathbf {\hat {e}} _{x},\mathbf {\hat {e}} _{y},\mathbf {\hat {e}} _{z})}$, or ${\displaystyle (\mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3})}$, hat, şapkalı veya şapkasız olarak kullanılır. Kaynaklarda özellikle i,j,k başka bir niceliğe sahip olan bir karışıklığa sebep olabilir (örneğin,i,j,k gibi içerik sembolleri bir takımın elementleri, sırası veya çeşitlilik dizisi olarak tanımlanabilir). Uzaydaki bir birim vektör i,j,k 'nın çizgisel kombinasyonları olarak, kartezyen sembolleri ile ifade edildiğinde, bu üç bileşen kosinüs fonksiyonun yönü olarak tanımlanabilir. Her bir bileşenin değeri ayrı ayrı vektörle birim vektörün arasında oluşturdukları açının kosinüsüne eşittir. Düz bir çizginin, çizginin bir kısmının, açısal eksenlerinin veya açısal eksenlerin bir parçasının tanımlamak için kullanılan yöntemlerden bir tanesidir.

Silindirik koordinatlar

Silindirsel simetri için uygun üç dikey birim vektör vardır. Bunlar; ${\displaystyle \mathbf {\hat {s}} }$ (ayrıca bunlar da kullanılabilir ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} }$ ya da ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\rho }}}}$), noktanın simetri ekseninden olan uzaklığını gösterir. ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$,saat yönünü tersinde hareket ederse, hareket yönünün gözlemlenebildiğine karşılık gelmektedir. ${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$,simetri ekseninin yönüne karşılık gelir. Bunlar kartezyenin temeli olan ${\displaystyle {\hat {x}}}$, ${\displaystyle {\hat {y}}}$, ${\displaystyle {\hat {z}}}$ ile ilişkilendirilir.

${\displaystyle \mathbf {\hat {s}} }$ = ${\displaystyle \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ = ${\displaystyle -\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {z}} .}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {s}} }$ ve${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ ${\displaystyle \varphi }$’nin fonksiyonları olduğunu belirtmek önemlidir ve sabit bir yönleri yoktur. Silindirik koordinatlarda türevleyerek ve integralini alarak, bu vektörleri çalıştırabiliriz. Daha eksiksiz bir açıklama için, Jacobian matrix'e bakınız. Fonksiyonun ${\displaystyle \varphi }$ türevleri şunlardır;

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {s}} }{\partial \varphi }}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} ={\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\mathbf {\hat {s}} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {z}} }{\partial \varphi }}=\mathbf {0} .}$

Küresel koordinatlar

Küresel bir simetriye uygun birim vektörleri: ${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }$, orjinden artan radyal uzunluğun yönü ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ x-y düzleminde saat yönünün tersi yönde gelen pozitif x ekseni artmaktadır; ve ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$, z ekseni yönündeki pozitif gelen açı artmaktadır. Bozulmayı, çakışıklığı en aza indirmek için, polar açı genellikle ${\displaystyle 0\leq \theta \leq 180^{\circ }}$ alınır. Sıklıkla ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$ ve ${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$gösterilen, küresel koordinatlarda yazılmış herhangi bir düzen üçlü bağlamına dikkat etmek özellikle önemlidir. Amerikan fizik kongresinde de kullanılmıştır. Bu azimutal açı yaparak ${\displaystyle \varphi }$ silindir koordinatlar da bunun aynısı olarak tanımlanır. Kartezyen ilişkileri şunlardır:

${\displaystyle \mathbf {\hat {r}} =\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} +\cos \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \varphi \mathbf {\hat {y}} }$

Küresel birim vektörler hem ${\displaystyle \varphi }$ hem ${\displaystyle \theta }$’a bağlıdır ve dolayısıyla beş tane sıfır olmayan türevleri vardır. Daha eksiksiz bir açıklama için Jakobien bakınız. Sıfır olmayan türevleri;

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \varphi }}=-\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {\hat {r}} }{\partial \theta }}=\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\sin \theta \mathbf {\hat {z}} ={\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {x}} +\cos \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {y}} =\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}{\partial \theta }}=-\sin \theta \cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \theta \sin \varphi \mathbf {\hat {y}} -\cos \theta \mathbf {\hat {z}} =-\mathbf {\hat {r}} }$

${\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}}{\partial \varphi }}=-\cos \varphi \mathbf {\hat {x}} -\sin \varphi \mathbf {\hat {y}} =-\sin \theta \mathbf {\hat {r}} -\cos \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}}$

Genel birim vektörler

Ana madde: Dik koordinatlar

Fizik ve Geometri boyunca meydana gelen birim vektörlerin ortak genel temaları:

Birim vektör	Terimleme	Diyagram
Bir eğri çizgisine teğet vektör	${\displaystyle \mathbf {\hat {t}} \,\!}$	Bir düzlemin içerdiği normal vektörü ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \,\!}$ ve radyal pozisyon vektörü ${\displaystyle r\mathbf {\hat {r}} \,\!}$ tarafından tanımlanan ve açısal teğeti dönme doğrultusu ${\displaystyle \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\,\!}$ vektör denklemlerinin açısal hareketlerinin bulunması için gereklidir.
Radyal konum bileşeni ve açısal teğet bileşeni içeren bir yüzeye teğet normal düzlemi	${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \,\!}$ açısından kutupsal koordinatlar; ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {r}} \times {\boldsymbol {\hat {\theta }}}\,\!}$
Binormal tanjant vektör ve normal	${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} =\mathbf {\hat {t}} \times \mathbf {\hat {n}} \,\!}$[1]
Bazı eksen /hattına paralel	${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\,\!}$	Bir birim vektörü${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\parallel }\,\!}$ bir ana doğrultuda(kırmızı çizgi)paralel hizalanmış ve ona dik birim vektör ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }\,\!}$ herhangi bir radyal doğrultuda ana hattına göredir.
Bir radyal doğrultuda bir eksen/hattına dik	${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\bot }\,\!}$
Bazı eksen/hattına bağlı mümkün açısal sapma	${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{\angle }\,\!}$	Akut sapma açısında φ birim vektörü (0 or π/2 rad dahil olmak üzere) göreceli bir yöne göre belirlenir.

Eğrisel koordinatlar

Genellikle, koordinat sistemi benzersiz bir vektör numarası kullanılarak belirtilebilir. Bağımsız birim vektörleri ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{n}}$ uzayın serbestlik derecesine eşittir. Sıradan 3 uzayı için; bu vektörler ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{1},\mathbf {\hat {e}} _{2},\mathbf {\hat {e}} _{3}}$ ifade edilebilir. Bu sistemi tanımlamak ve ortonormal olmak için her zaman uygun olan denklemler; ${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot \mathbf {\hat {e}} _{j}=\delta _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}\cdot (\mathbf {\hat {e}} _{j}\times \mathbf {\hat {e}} _{k})=\varepsilon _{ijk}}$ δ_ij Kronecker delta’dır (i = j dir ve sıfırdan farklıdır) ve ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ Levi-Civita symbolüdür (permütasyon düzenlerinin bir tanesidir ijk' ve eksi sıralı permütasyonu kji.

Kaynakça

1. M. R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman (2009). Vector Analysis (Schaum's Outlines Series) (2. bas.). Mc Graw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7. KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi (link)

• • İngilizce vikipedi24 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.