Anne teoremi

Karşıt üçgen alanlarının toplamları eşittir:
${\displaystyle {Alan}(\triangle BCL)+{Alan}(\triangle DAL)={Alan}(\triangle LAB)+{Alan}(\triangle DLC)}$

Fransız matematikçi Pierre-Leon Anne'in (1806-1850) adını taşıyan Anne teoremi, dışbükey dörtgen içindeki belirli alanların eşitliğini tanımlayan Öklid geometrisinden bir teoremdir.

Açıklama

Teorem özellikle şunları belirtir:

ABCD, paralelkenar olmayan AC ve BD köşegenleri olan dışbükey bir dörtgen olsun. Ayrıca, E ve F köşegenlerin orta noktaları ve L, ABCD'nin iç kısmında rastgele bir nokta olsun. L, ABCD'nin kenarlarıyla dört üçgen oluşturur. Zıt iki üçgenlerin alanlarının toplamı eşitse;

Alan (BCL) + Alan (DAL) = Alan (LAB) + Alan (DLC),

L noktası Newton doğrusu, yani E ve F'yi birbirine bağlayan doğru üzerinde bulunur.

Bir paralelkenar için Newton doğrusu mevcut değildir çünkü köşegenlerin her iki orta noktası, köşegenlerin kesişme noktasıyla çakışır. Ayrıca teoremin alan özdeşliği bu durumda dörtgenin herhangi bir iç noktası için geçerlidir.

Anne teoreminin tersi de doğrudur, yani dörtgenin iç noktası olan Newton doğrusu üzerindeki herhangi bir nokta için alan özdeşliği geçerlidir.

İspat

İspat 1

Léon Anne Teoreminin ispatı

${\textstyle E}$ noktası, ${\textstyle BD}$ köşegeninin orta noktası olduğundan, ${\textstyle B}$ ve ${\textstyle D}$ notalarından ${\textstyle EF}$ doğrusuna çizilen dikmelerin uzunlukları eşittir. Bu nedenle, diyelim ki ${\textstyle \triangle BOF}$ ve ${\textstyle \triangle DOF}$ üçgenleri eşit alanlara sahiptir. Benzer şekilde, ${\textstyle {Alan}(\triangle AOF)={Alan}(\triangle COF)}$.^[1]

Ayrıca,

${\textstyle {Alan}(\triangle AOB)={Alan}(\triangle AFB)+{Alan}(\triangle AOF)+{Alan}(\triangle BOF)}$ ve

${\textstyle {Alan}(\triangle DOC)={Alan}(\triangle DFC)-{Alan}(\triangle COF)-{Alan}(\triangle DOF)}$.

Bu nedenle,

(1) ${\textstyle {Alan}(\triangle AOB)+{Alan}(\triangle COD)={Alan}(\triangle AFB)+{Alan}(\triangle CFD)}$.

Aynı şekilde,

${\textstyle {Alan}(\triangle AOD)={Alan}(\triangle AFD)+{Alan}(\triangle DOF)-{Alan}(\triangle AOF)}$ ve

${\textstyle {Alan}(\triangle BOC)={Alan}(\triangle BFC)-{Alan}(\triangle BOF)+{Alan}(\triangle COF)}$.

Oradan,

(2) ${\textstyle {Alan}(\triangle AOD)+{Alan}(\triangle BOC)={Alan}(\triangle AFD)+{Alan}(\triangle CFB)}$.

Ama biliyoruz ki, ${\textstyle {Alan}(\triangle AFB)={Alan}(\triangle AFD)}$ ve aynı zamanda ${\textstyle {Alan}(\triangle CFD)={Alan}(\triangle CFB)}$, (1) ve (2) ile birleştirildiğinde,

(3) ${\textstyle {Alan}(\triangle AOD)+{Alan}(\triangle BOC)={Alan}(\triangle AOB)+{Alan}(\triangle COD)}$ elde edilir.

İspat 2

Léon Anne Teoreminin ispatı

Bir kenarortay, bir üçgenin alanını ikiye böldüğünden, dörtgenin köşegenlerinin orta noktaları söz konusu lokustan birindedir. Basil Rannie'den kaynaklanan bir gözlem, yerin düz bir çizgi olduğunu açıkça ortaya koyar.^[2]

Sabit tabanlı ve hareketli tepeli bir üçgenin alanı, ikincisinin Kartezyen koordinatlarının doğrusal fonksiyonudur. Tepe iki üçgen tarafından paylaşılıyorsa, bunların toplam alanı yine de koordinatlarının doğrusal bir fonksiyonudur. Ancak doğrusal bir fonksiyonun seviye eğrileri düz çizgilerdir.

Notlar

1. F. G.-M., Exercices de Géométrie, Jacques Gabay, 1991, s. 767
2. R. Honsberger, More Mathematical Morsels, MAA, 1991, ss. 174-175

Kaynakça

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Büyüleyici Kanıtlar: Zarif Matematiğe Bir Yolculuk. MAA, 2010, 9780883853481, s. 116–117 (Google Kitaplar'da online copy)
• Ross Honsberger: Daha Fazla Matematiksel Morsel. Cambridge University Press, 1991, 0883853140, s. 174–175 Google Kitaplar'da online copy)

Dış bağlantılar

• Newton's and Léon Anne's Theorems 10 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at cut-the-knot.org
• Andrew Jobbings: The Converse of Leon Anne's Theorem 4 Mart 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Weisstein, Eric W. "Leon Anne's Theorem 13 Eylül 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.". MathWorld.

İlave okumalar

• Hans Humenberger, (2018), Balanced areas in quadrilaterals – on the way to Anne’s Theorem, Makale
• Hans Humenberger & Berthold Schuppar, (2019), Balanced areas in quadrilaterals – Anne’s Theorem and its unknown origin, DOI: 10.5485/TMCS.2019.0462, ss. 93–103 Makale
• Anne’s Theorem Proof