Topologi umum

Kurva sinus topologis, contoh berguna dalam topologi point-set. Hal ini terhubung tapi tidak jalan-terhubung.

Dalam matematika, topologi umum adalah cabang dari topologi yang berhubungan dengan definisi dan konstruksi teori himpunan dasar yang digunakan dalam topologi. Ini adalah dasar dari sebagian besar cabang lain dari topologi, termasuk topologi diferensial, topologi geometris, dan topologi aljabar. Nama lain untuk topologi umum adalah topologi himpunan-titik.

Konsep dasar dalam topologi himpunan-titik adalah kontinuitas, keutuhan, dan keterhubungan.

Ruang topologi

Misalkan ${\displaystyle X}$ himpunan dan ${\displaystyle \tau }$ sebuah keluarga dari himpunan-himpunan bagian ${\displaystyle X}$. Keluarga ${\displaystyle \tau }$ disebut topologi di ${\displaystyle X}$, jika memenuhi sifat-sifat berikut:

1. ${\displaystyle \emptyset \in \tau }$ dan ${\displaystyle X\in \tau }$.
2. ${\displaystyle \bigcup _{A\in \eta }A\in \tau }$ untuk suatu ${\displaystyle \eta \subseteq \tau }$.
3. ${\displaystyle A\cap B\in \tau }$ untuk suatu ${\displaystyle A,B\in \tau }$.

Selanjutnya, pasangan ${\displaystyle (X,\tau )}$ disebut ruang topologi. Anggota ${\displaystyle \tau }$ dikatakan himpunan terbuka. Himpunan bagian dari ${\displaystyle X}$ dikatakan himpunan tertutup jika komplemennya himpunan terbuka.

Basis

Misalkan ${\displaystyle (X,\tau )}$ ruang topologi. Keluarga bagian ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$ disebut basis dari topologinya jika setiap anggota dari ${\displaystyle \tau }$ dapat dinyatakan sebagai gabungan dari himpunan-himpunan dari ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$.

Contoh

• Setiap ruang metrik mempunyai topologi metrik yang dihasilkan oleh basis bola buka metrik.

Bacaan lebih lanjut

Beberapa buku standar pada topologi umum meliputi:

• Bourbaki, Topologie Générale (General Topology), ISBN 0-387-19374-X.
• John L. Kelley (1955) General Topology, link from Internet Archive, originally published by David Van Nostrand Company.
• James Munkres, Topology, ISBN 0-13-181629-2.
• George F. Simmons, Introduction to Topology and Modern Analysis, ISBN 1-575-24238-9.
• Paul L. Shick, Topology: Point-Set and Geometric, ISBN 0-470-09605-5.
• Ryszard Engelking, General Topology, ISBN 3-88538-006-4.
• Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-486-68735-3, MR 507446 
• O.Ya. Viro, O.A. Ivanov, V.M. Kharlamov and N.Yu. Netsvetaev, Elementary Topology: Textbook in Problems, ISBN 978-0-8218-4506-6.