โคมไฟของทอมสัน

โคมไฟของทอมสัน เป็นปริศนาทางปรัชญาที่เกี่ยวข้องกับเรื่องอนันต์ กำเนิดขึ้นมาในปี 1954 โดยนักปรัชญาชาวอังกฤษ เจมส์ เอฟ. ทอมสัน เป็นผู้ที่เริ่มการวิเคราะห์ถึงความเป็นไปได้ของซูเปอร์ทาสก์ ที่ซึ่งเกี่ยวกับตัวเลขอนันต์

เวลา	เปิด/ปิด
0.000	เปิด
1.000	ปิด
1.500	เปิด
1.750	ปิด
1.875	เปิด
...	...
2.000	?

ปัญหา

ให้หลอดไฟมีระบบเปิดปิดที่ใช้ทอกเกิลสวิตช์ ที่เมื่อกดสวิตช์หนึ่งครั้งแล้วหลอดไฟจะเปิด เมื่อกดอีกครั้งจะปิด ต่อไป ให้กระทำการตามขั้นตอนต่อไปนี้ : เริ่มตัวจับเวลา จะมีคนเปิดไฟ เมื่อผ่านไปหนึ่งนาที ก็ปิดไฟ และเมื่อผ่านไปอีกครึ่งนาที ก็เปิดไฟอีกครั้ง และเมื่อผ่านไปอีก ¹/₄ ของหนึ่งนาที ก็ปิดไฟอีกครั้ง และเมื่อผ่านไปอีก ¹/₈ ของหนึ่งนาที ก็เปิดไฟอีกครั้ง และทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ โดยรอให้ถึงครึ่งหนึ่งของ ณ เวลานั้น ๆ จึงกดสวิตช์^[1] ผลรวมของเวลาอนุกรมอนันต์นี้คือสองนาที^[2]

คำถามก็คือ : หลอดไฟจะเปิดหรือปิดภายในเวลาสองนาที?^[1] ทอมสันได้ให้เหตุผลเรื่องความขัดแย้งไว้ดังนี้ :

ดูเหมือนเป็นไปไม่ได้ที่จะตอบคำถามนี้ หลอดไฟจะเปิดไม่ได้ เพราะไม่มีสักครั้งที่จะเปิดหลอดไฟโดยที่ไม่ปิดมาก่อนเลย หลอดไฟจะปิดไม่ได้ เพราะก่อนจะปิดได้นั้นก็ต้องเปิดมาก่อน แล้วต่อจากนั้น ก็จะไม่ปิดโดยที่ไม่เปิดมาก่อนได้ แต่หลอดไฟต้องเปิดหรือปิดอย่างแน่นอน แต่กลับกลายเป็นข้อขัดแย้งไปซะเอง^[1]

การเปรียบเทียบกับอนุกรมทางคณิตศาสตร์

ปัญหานี้มีความคล้ายคลึงกับอนุกรมแกรนดี

S = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·

สำหรับผลรวมของอนุกรมข้างต้น หาก n เป็นจำนวนคู่ ผลรวมจะเท่ากับ 1 แต่หาก n เป็นจำนวนคี่ ผลรวมจะได้ 0 หรือก็คือ ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวก ลำดับอนุกรมจะเป็น {1, 0, 1, 0...} ซึ่งแสดงถึงสถานะของหลอดไฟ^[3] อนุกรมนี้จะไม่บรรจบกัน แต่ก็ไม่ใช่อนุกรมอนันต์

หรือเมื่อจัดรูปอนุกรมใหม่จะได้ :

S = 1 − (1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·)

อนุกรมอนันต์ที่อยู่ในวงเล็บมีค่าเท่ากับอนุกรม S ซึ่งก็หมายความว่าS = 1 − S จะได้ S = ¹⁄₂ ซึ่งในความเป็นจริง ผลรวมนี้ออกแบบมาเพื่อสนับสนุนข้อที่ว่า : มีการจำกัดผลรวมของอนุกรมที่ทำให้ค่าอนุกรมแกรนดีเท่ากับ ¹⁄₂

ส่วนหนึ่งของงานเขียนของเขาในปี 1954 ได้เขียนเรื่องการเปรียบเทียบของอนุกรมแกรนดีกับโคมไฟของเขาไว้

"แล้วคำถามที่ว่าโคมไฟจะเปิดหรือปิด...คือคำถามที่ว่า : ผลรวมของลำดับลู่ออก

+1, −1, +1, …?

"นักคณิตศาสตร์ก็ได้ออกมากล่าวว่าลำดับนี้มีผลรวม พวกเขาบอกว่าผลรวมคือ ¹⁄₂ แล้วคำตอบนั่นก็ไม่ได้ช่วยอะไรเราเลย เพราะเราไม่ยอมรับที่จะบอกว่าโคมไฟนั้นกึ่งปิดกึ่งเปิด ซึ่งหมายความว่า จะยังไม่มีคำตอบโดยสมบูรณ์ว่าอะไรจะได้คำตอบลงไปอีกเมื่อซูเปอร์ทาสก์นั้นได้คำตอบ ... เราไม่อาจคาดหวังที่จะเลือกความคิดนี้แค่เพียงเพราะเรามีความคิดเรื่องทาสก์ หรือหลาย ๆ ทาสก์ที่เราได้พิสูจน์ตามความคุ้นเคยกับจำนวนเหนืออนันต์ (Transfinite Numbers)"^[4]

ดูเพิ่ม

• ปฏิทรรศน์

หมายเหตุ

1. Thomson 1954, p. 5.
2. Thomson 1954, p. 9.
3. Thomson 1954, p. 6.
4. Thomson p.6. For the mathematics and its history he cites Hardy and Waismann's books, for which see History of Grandi's series.

อ้างอิง

• Allen, Benjamin William (2008). Zeno, Aristotle, the Racetrack and the Achilles: A Historical and Philosophical Investigation. New Brunswick, NJ: Rutgers, The State University of New Jersey. pp. 209–210. ISBN 9781109058437.^{[ลิงก์เสีย]}
• Benacerraf, Paul (1962). "Tasks, Super-Tasks, and the Modern Eleatics". The Journal of Philosophy. 59 (24): 765–784. doi:10.2307/2023500. JSTOR 2023500.
• Huggett, Nick (2010). Everywhere and Everywhen : Adventures in Physics and Philosophy: Adventures in Physics and Philosophy. Oxford University Press. pp. 22–23. ISBN 9780199702114.
• Thomson, James F. (October 1954). "Tasks and Super-Tasks". Analysis. Analysis, Vol. 15, No. 1. 15 (1): 1–13. doi:10.2307/3326643. JSTOR 3326643.
• Earman, John and Norton, John (1996) Infinite Pains: The Trouble with Supertasks. In Benacerraf and his Critics, Adam Morton and Stephen P. Stich (Eds.), p. 231-261.