เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุค (อังกฤษ: conjugate transpose) ของเมทริกซ์ A มิติ m×n ซึ่งมีสมาชิกเป็นจำนวนเชิงซ้อน คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยนของเมทริกซ์ A ซึ่งเปลี่ยนสมาชิกทั้งหมดเป็นสังยุค เขียนแทนด้วยเมทริกซ์ A* หรือสามารถนิยามได้จาก
เมื่อ 1 ≤ i ≤ n และ 1 ≤ j ≤ m และขีดเส้นตรงหมายถึงสังยุคของจำนวนเชิงซ้อน (อาทิ สังยุคของ a + bi คือ a − bi เป็นต้น)
นิยามดังกล่าวสามารถเขียนได้อีกรูปแบบหนึ่งดังนี้
ซึ่ง คือเมทริกซ์สลับเปลี่ยน และ คือเมทริกซ์ที่มีสมาชิกเป็นสังยุค
ชื่ออื่นๆ ของเมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคเช่น เมทริกซ์สลับเปลี่ยนเอร์มีเชียน (Hermitian transpose) เมทริกซ์สังยุคเอร์มีเชียน (Hermitian conjugate) ทรานสจูเกต (transjugate) หรือแม้แต่ เมทริกซ์ผูกพัน (adjoint matrix) ซึ่งคำสุดท้ายนี้อาจหมายถึงเมทริกซ์แอดจูเกต (adjugate matrix) ก็ได้ เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A สามารถเขียนด้วยสัญลักษณ์ได้อีกหลายรูปแบบ เช่น
ตัวอย่าง
กำหนดให้เมทริกซ์ A
เมทริกซ์สลับเปลี่ยนสังยุคของ A คือ
คุณสมบัติ
- สำหรับเมทริกซ์ A และ B ใดๆ ที่มีมิติเท่ากัน
- สำหรับจำนวนเชิงซ้อน r และเมทริกซ์ A ใดๆ ในที่นี้หมายถึงสังยุคของ r
- สำหรับเมทริกซ์ A มิติ m×n และเมทริกซ์ B มิติ n×p (สามารถคูณกันได้)
- สำหรับเมทริกซ์ A ใดๆ
- ถ้า A เป็นเมทริกซ์จัตุรัสแล้ว และ (ดูเพิ่มที่ดีเทอร์มิแนนต์และรอยเมทริกซ์)
- A* จะสามารถมีตัวผกผันได้ก็ต่อเมื่อ A มีตัวผกผัน ซึ่งในกรณีดังกล่าวเราจะได้ว่า
- ค่าลักษณะเฉพาะ (eigenvalue) ของเมทริกซ์ A* คือสังยุคของค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ A
ดูเพิ่ม
แหล่งข้อมูลอื่น