พหุนามเลอฌ็องดร์

ในสมการเลอจองดร์ จะมีสมการเลอจองดร์สมทบ (Associated Legendre polynomials) ที่จะเป็นผลเฉลยของสมการเลอจองดร์และหนุนามเลอจองดร์จะเป็นผลเฉลยของการสมมาตรบนแกน Z แบบทรงกระบอก

ส่วนในทางคณิตศาสตร์แล้วนั้นฟังก์ชันเลอจองดร์จะเป็นผลเฉลยของสมการอนุพันธ์ของเลอจองดร์ :

ผู้คิดค้นสมการนี้ คือ อาเดรียง-มารี เลอฌ็องดร์ สมการอนุพันธ์สามัญ (ordinary differential equation, ODE)นี้มักจะนำมาใช้ในวิชาฟิสิกส์และเทคนิคอื่น ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งจะปรากฏในสมการลาปลาซ (Laplace's equation) ซึ่งสัมพันธ์กับการแก้สมการโดยใช้สมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (partial differential equations, PDE)ในระบบพิกัดทรงกลม (spherical coordinates)

สมการเชิงอนุพันธ์ของเลอจองดร์มักจะนำไปใช้แก้ปัญหาของอนุกรมกำลัง (power series)สมการที่มีค่า regular singular points ที่ x= ±1 แต่โดยทั่วไปแล้วผลเฉลยของอนุกรมที่จุดเริ่มต้นจะมีค่าลู่เข้าที่ |x| < 1 เมื่อ n เป็นเลขจำนวนเต็ม ผลเฉลยของ P_n(x) จะ regular ที่ x = 1 และ  regular ที่ x = −1 และอนุกรมเหล่านี้จะหาค่าได้ (เช่น พหุนาม)

ผลเฉลยสำหรับ n = 0, 1, 2, … (ที่มีค่า normalization P_n(1) = 1) มาจากสมบัติของการ orthogonal ที่เรียกว่า พหุนามของเลอจองดร์ (Legenre polynomials) ในแต่ละพหุนามของเลอจองดร์ P_n(x) คือ พหุนามที่ n สามารถที่จะใช้สูตรของ Rodrigues

ในพหุนามเหล่านี้จะนำมาใช้ใน สมการเชิงอนุพันธ์ของเลอจองดร์ (สมการแรก) ที่จะมีจำนวนการอนุพันธ์เป็น n+1 ครั้ง ทั้ง 2 ข้างของสมการเอกลักษณ์

และมักจะใช้กฎทั่วไปของ Leibniz สำหรับการทำอนุพันธ์ซ้ำ ค่า  P_n สามารถนิยามเหมือนกับสัมประสิทธ์ในการกระจายของอนุกรมเทย์เลอร์ (Taylor series expansion)

ในทางฟิสิกส์นั้นฟังก์ชันก่อกำเนิดสามัญ (ordinary generating function) นี้ จะเป็นพื้นฐานของ multipole expansions

ตัวอย่างของพหุนามเลอจองดร์

กราฟแสดงค่าพหุนาม

กราฟแสดงค่าพหุนามเมื่อ n ตั้งแต่ 0 ถึง 5