การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์

ในคณิตศาสตร์ การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Proof) คือการแสดงให้เห็นว่า ถ้าหากประพจน์ (หรือในบางกรณีเป็นสัจพจน์) บางอย่างเป็นจริงแล้ว ประพจน์ทางคณิตศาสตร์เป็นผลจากสมมุติฐานดังกล่าวที่จะต้องเป็นจริงด้วย^[1][2][3] เราจะเห็นได้ว่าการพิสูจน์เป็นการให้เหตุผลเชิงนิรนัย (deductive reasoning) มากกว่าที่จะเป็นการให้เหตุผลเชิงอุปนัย (inductive reasoning) หรือได้จากการวิพากษ์เชิงประจักษ์ หรือ ได้โดยจากประสบการณ์หรือการทดลอง (empirical argument) การพิสูจน์เชิงคณิตศาสตร์นั้น ต้องแสดงให้เห็นให้ได้ว่าประพจน์ที่เรากำลังพิสูจน์นั้นต้องเป็นจริงในทุกกรณี ซึ่งในกรณีที่ง่ายที่สุดอาจทำได้โดยการจำแนกให้เห็นทุกกรณีที่เป็นไปได้ และแสดงให้เห็นแต่ละกรณีนั้นเป็นจริงอย่างไร ไม่ใช่เพียงแค่แจกแจงแต่กรณีที่เราสามารถยืนยันได้เท่านั้น ในทางกลับกัน ประพจน์ที่ถูกเชื่อกันว่าเป็นจริง โดยที่เรายังหาวิธีพิสูจน์ไม่ได้เราเรียก ประพจน์เช่นนี้ว่า ข้อความคาดการณ์^[4] (conjecture) เช่น ข้อความคาดการณ์ของโกลด์บาค (Goldbach's conjecture) และ สมมุติฐานของรีมันน์ (Riemann hypothesis) เป็นต้น

การพิสูจน์นั้นใช้ประโยชน์จากตรรกศาสตร์ซึ่งมักเป็นภาษาที่รัดกุมแต่ในบางครั้งก็มักจะใช้ภาษาที่เกิดขึ้นตามธรรมชาติเพื่อการสื่อสารหรือ ภาษาธรรมชาติ ในการอธิบายด้วยซึ่งก่อให้เกิดความกำกวม

วิธีการพิสูจน์

การพิสูจน์ตรง

การพิสูจน์ตรง ข้อสรุปได้จากนำผลลัพธ์จากสัจพจน์ นิยาม และทฤษฎีบทก่อนหน้า^[5] การพิสูจน์ตรงใช้ยืนยันว่าผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนเป็นจำนวนคู่

พิจารณาจำนวนเต็ม x และ y เพราะเป็นจำนวนคู่ เราสามารถเขียน x = 2a และ y = 2b ตามลำดับ สำหรับบางจำนวนเต็ม a และ b จะได้ x + y = 2a + 2b = 2 (a+b) ดังนั้น ชัดเจนว่า x+y มี 2 เป็นตัวประกอบ ดังนั้นผลรวมของจำนวนเต็มคู่สองจำนวนใด ๆ เป็นจำนวนคู่เสมอ

การพิสูจน์นี้ใช้นิยามจำนวนเต็มคู่ สมบัติของการปิดของจำนวนเต็มภายใต้การบวกและการคูณ และ สมบัติการแจกแจง

การพิสูจน์โดยการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

บทความหลัก: การอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

การพิสูจน์โดยการอุปนัยไม่เหมือนกับการให้เหตุผลแบบอุปนัยเชิงตรรกศาสตร์ แม้ว่าแนวคิดรวบยอดจะคล้ายกัน การพิสูจน์แบบนี้ มีการพิสูจน์ "ขั้นฐาน" หนึ่งประพจน์ และพิสูจน์ "กฎการอุปนัย" ที่กล่าวว่าถ้ากรณีใดกรณีหนึ่งเป็นจริงแล้วกรณีอื่นก็เป็นจริง เมื่อใช้กฎการอุปนัยซ้ำหลายครั้ง จาก "ขั้นฐาน" ที่พิสูจน์แยกกัน นำมาพิสูจน์กรณีอื่น ๆ เป็นอนันต์กรณี^[6] เพราะว่าขั้นฐานเป็นจริง กรณีอื่น ๆ อีกอนันต์กรณีก็ต้องเป็นจริง แม้ว่าเราไม่สามารถพิสูจน์กรณีทั้งหมดโดยตรงได้ เพราะมีเป็นอนันต์ ส่วนหนึ่งของการอุปนัยคือ การลดหลั่นอนันต์ (infinite descent) สามารถใช้พิสูจน์ความเป็นอตรรกยะของ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

การใช้งานโดยทั่วไปโดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์คือพิสูจน์ว่าสมบัติอย่างหนึ่งที่เป็นจริงกับจำนวนหนึ่งเป็นจริงกับจำนวนนับทุกจำนวน:^[7] ให้ N = {1,2,3,4,...} เป็นเซตของจำนวนนับ และ P (n) เป็นข้อความทางคณิตศาสตร์ที่มีจำนวนนับ n เป็นสมาชิกของ N ที่

• (i) P(1) เป็นจริง กล่าวคือ P(n) เป็นจริงสำหรับ n = 1
• (ii) P(n+1) เป็นจริงเมื่อ P(n) เป็นจริงเสมอ กล่าวคือ P(n) เป็นจริง แปลว่า P(n+1) ก็เป็นจริง
• แล้ว P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนนับ n

เช่น เราสามารถพิสูจน์ว่าจำนวนนับทุกจำนวนในรูป 2n + 1 เป็นจำนวนคี่ ให้ P(n) แทน "2n+1 เป็นจำนวนคี่":

(i) สำหรับ n = 1 จะได้ว่า 2n + 1 = 2(1) + 1 = 3 และ 3 เป็นจำนวนคี่ ดังนั้น P(1) เป็นจริง

(ii) สำหรับทุก n ถ้า 2n + 1 เป็นจำนวนคี่แล้ว (2n + 1) + 2 ก็เป็นจำนวนคี่เพราะการบวก 2 กับจำนวนคี่จะได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนคี่ แต่ (2n + 1) + 2 = 2(n + 1) + 1 ดังนั้น 2(n + 1) + 1 เป็นจำนวนคี่ (P(n+1)) ดังนั้น P(n+1) เป็นจริงถ้า P(n) เป็นจริง

ฉะนั้น 2n + 1 เป็นจำนวนคี่สำหรับทุกจำนวนนับ n

ภาษาอังกฤษนิยมใช้คำว่า proof by induction หมายถึงการอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์มากกว่า proof by mathematical induction^[8]

อ้างอิง

1. Cupillari, Antonella. The Nuts and Bolts of Proofs. Academic Press, 2001. Page 3.
2. Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7
3. Gossett, Eric. Discrete Mathematics with Proof. John Wiley and Sons, 2009. Definition 3.1 page 86. ISBN 0-470-45793-7
4. คณิตศาสตร์๑๙ ก.ค. ๒๕๔๗
5. Cupillari, page 20.
6. Cupillari, page 46.
7. Examples of simple proofs by mathematical induction for all natural numbers
8. Proof by induction เก็บถาวร 2012-02-18 ที่ เวย์แบ็กแมชชีน, University of Warwick Glossary of Mathematical Terminology