แคลคูลัสเวกเตอร์

แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นแขนงหนึ่งของคณิตศาสตร์ ว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงของของเวกเตอร์ในมิติที่สูงกว่าหรือเท่ากับสองมิติ เนื้อหาประกอบด้วยเทคนิคในการแก้ปัญหาและสูตรคำนวณที่เกี่ยวข้องต่าง ๆ ซึ่งมีประโยชน์ใช้งานมากในทางวิศวกรรมและฟิสิกส์

สนามเวกเตอร์หมายถึงการระบุค่าเวกเตอร์ให้กับทุก ๆ จุดในปริภูมิที่พิจารณา เช่นเดียวกับสนามสเกลาร์ ซึ่งเป็นการระบุค่าสเกลาร์ให้กับทุก ๆ จุดในปริภูมิ เช่น อุณหภูมิของน้ำในสระ เป็นสนามสเกลาร์ โดยเป็นการระบุค่าอุณหภูมิ ซึ่งเป็นปริมาณสเกลาร์ให้กับแต่ละตำแหน่ง ส่วนการไหลของน้ำในสระนั้นเป็นสนามเวกเตอร์ เนื่องจากการไหลของน้ำที่แต่ละจุดนั้นจะถูกระบุด้วย เวกเตอร์ความเร็ว

ตัวดำเนินการที่สำคัญในแคลคูลัสเวกเตอร์

• เกรเดียนต์ (gradient) ใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle \,\operatorname {grad} ~\varphi \,}$ หรือ ${\displaystyle \,\nabla \varphi \,}$ : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดอัตราและทิศทาง ความเปลี่ยนแปลงของสนามสเกลาร์ ดังนั้นเกรเดียนต์ของสนามสเกลาร์ จะได้เป็นสนามเวกเตอร์
• ไดเวอร์เจนซ์ (divergence) ใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle \,\operatorname {div} ~{\vec {F}}\,}$ หรือ ${\displaystyle \,\nabla \cdot {\vec {F}}\,}$ : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดความลู่เข้าหรือลู่ออก (เป็นจุดกำเนิดสนาม) ของสนามเวกเตอร์ ณ จุดใด ๆ
• เคิร์ล (curl) ใช้สัญลักษณ์ ${\displaystyle \,\operatorname {curl} ~{\vec {F}}\,}$ หรือ ${\displaystyle \,\nabla \times {\vec {F}}\,}$ : เป็นตัวดำเนินการใช้วัดระดับความหมุนวน ณ จุดใด ๆ โดยเคิร์ลของสนามเวกเตอร์ จะได้เป็นอีกสนามเวกเตอร์หนึ่ง

ตัวดำเนินการอีกตัวหนึ่งคือตัวดำเนินการลาปลัส ได้จากการประยุกต์ไดเวอร์เจนซ์และเกรเดียนต์รวมกัน

ทฤษฎีบทที่สำคัญที่เกี่ยวข้อง

• ทฤษฎีบทเกรเดียนต์
• ทฤษฎีบทไดเวอร์เจนซ์
• ทฤษฎีบทของสโตกส์

การวิเคราะห์เหล่านี้สามารถทำความเข้าใจได้ไม่ยาก โดยการใช้วิธีการทางเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ (แคลคูลัสเวกเตอร์ เป็นสาขาย่อยหนึ่งของ เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์)

การดำเนินการเวกเตอร์

การดำเนินการพีชคณิต

พื้นฐานพีชคณิต (ไม่ใช่การหาอนุพันธ์) การดำเนินการในแคลคูลัสเวกเตอร์จะเรียกว่าพีชคณิตเวกเตอร์ ถูกกำหนดไว้สำหรับปริภูมิเวกเตอร์และได้ถูกนำไปประยุกต์ใช้กันทั่วโลกกับสนามเวกเตอร์และประกอบด้วย

• การคูณสเกลาร์ การคูณของสนามสเกลาร์และสนามเวกเตอร์ย่อมได้สนามเวกเตอร์ ${\displaystyle a\mathbf {v} }$;
• การบวกเวกเตอร์ การบวกของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}}$;
• ผลคูณจุด การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามสเกลาร์ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}}$;
• ผลคูณไขว้ การคูณของสนามเวกเตอร์สองสนามย่อมได้สนามเวกเตอร์ ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \mathbf {v} _{2}}$;

นอกจากนี้ยังมีผลคูณเชิงเวกเตอร์ของสามเวกเตอร์ 2 แบบ คือ:

ผลคูณเชิงสเกลาร์สามชั้น

ผลคูณจุดของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\cdot \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$;

ผลคูณเชิงเวกเตอร์สามชั้น

ผลคูณไขว้ของผลคูณเวกเตอร์และผลคูณไขว้ของ 2 เวกเตอร์: ${\displaystyle \mathbf {v} _{1}\times \left(\mathbf {v} _{2}\times \mathbf {v} _{3}\right)}$ or ${\displaystyle \left(\mathbf {v} _{3}\times \mathbf {v} _{2}\right)\times \mathbf {v} _{1}}$;

แม้ว่าสิ่งเหล่านี้จะเป็นการดำเนินการพื้นฐานที่มักจะถูกนำมาใช้น้อยกว่า, ดังเช่นที่สามารถแสดงได้ในแง่ของผลคูณจุดและผลคูณไขว้ก็ตาม

การดำเนินการอนุพันธ์

แคลคูลัสเวกเตอร์ศึกษาเกี่ยวกับตัวดำเนินการอนุพันธ์ต่าง ๆ ที่กำหนดไว้ในสนามสเกลาร์หรือสนามเวกเตอร์, ซึ่งโดยปกติจะถูกแสดงในเทอมของตัวดำเนินการเดล (${\displaystyle \nabla }$) หรือที่เรียกกันว่า "nabla" มีการดำเนินการอนุพันธ์ที่สำคัญที่สุดอยู่ห้าอย่างในแคลคูลัสเวกเตอร์:

การดำเนินการ	สัญกรณ์	คำอธิบาย	โดเมน/พิสัย
เกรเดียนต์	${\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla f}$	วัดอัตราและทิศทางของการเปลี่ยนแปลงในสนามสเกลาร์	แผนที่สนามสเกลาร์สู่สนามเวกเตอร์
เคิร์ล	${\displaystyle \operatorname {curl} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$	วัดแนวโน้มของการหมุนในบริเวณโดยรอบจุดในสนามเวกเตอร์	แผนที่สนามเวกเตอร์ (เทียม) สู่สนามเวกเตอร์
ไดเวอร์เจนซ์	${\displaystyle \operatorname {div} (\mathbf {F} )=\nabla \cdot \mathbf {F} }$	วัดสเกลาร์ของแหล่งที่มาหรือแหล่งกำเนิดกับสเกลาร์ของแหล่งที่รับเข้าไปหรือแหล่งจุดจบที่จุดที่กำหนดในสนามเวกเตอร์	แผนที่สนามเวกเตอร์สู่สนามสเกลาร์
ลาปลาเซียน เวกเตอร์	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {F} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )}$	องค์ประกอบของการดำเนินการเคริล์และการดำเนินการเกรเดียนต์	แผนที่ระหว่างสนามเวกเตอร์
ลาปลาเซียน	${\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f}$	องค์ประกอบของการดำเนินการไดเวอร์เจนซ์และการดำเนินการเกรเดียนต์	แผนที่ระหว่างสนามสเกลาร์