ค่าสัมบูรณ์

กราฟของฟังก์ชันค่าสมบูรณ์

ในคณิตศาสตร์ ค่าสัมบูรณ์ หรือ มอดุลัส (อังกฤษ: absolute value หรือ modulus)ของจำนวนจริง x ใด ๆ คือ ผลต่างระหว่างจำนวนนั้นกับ 0 หรืออีกนัยหนึ่ง ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนใด ๆ ได้จากการตัดเครื่องหมายลบทิ้ง ตัวอย่างเช่น ค่าสัมบูรณ์ของ 3 คือ 3 และค่าสัมบูรณ์ของ −3 ก็คือ 3 เช่นกัน

นอกจากนี้ยังมีการขยายนัยทั่วไปของค่าสัมบูรณ์ไปสู่ค่าสมบูรณ์ของจำนวนเชิงซ้อน จำนวนควอเตอร์เนียน ริงเรียงอันดับ ฟีลด์ ปริภูมิเวกเตอร์ และนำไปสู่นอร์มเหนือปริภูมิเวกเตอร์

นิยามบนจำนวนจริง

สำหรับจำนวนจริง a ใดๆ , ค่าสัมบูรณ์ของ a เขียนแทนด้วย |a| เท่ากับ a ถ้า a ≥ 0 และเท่ากับ −a ถ้า a < 0 ค่าสัมบูรณ์จะเป็นจำนวนบวกหรือศูนย์เสมอ ไม่เป็นจำนวนลบ นั่นคือจะไม่มีค่า a ที่ |a| < 0

ค่าสัมบูรณ์สามารถถือว่าเป็นระยะทางระหว่างจำนวนนั้นกับศูนย์

สมบัติของค่าสัมบูรณ์บนจำนวนจริง

ค่าสัมบูรณ์มีสมบัติดังนี้ สำหรับจำนวนจริง ${\displaystyle a,b,c}$ ใด ๆ

${\displaystyle |a|\geq 0}$	ความไม่เป็นลบ (Non-negativity)
${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$	สมบัติความเป็นบวกแน่นอน (Positive-definiteness)
${\displaystyle |ab|=\left|a\right|\left|b\right|}$	สมบัติแยกคูณ (Multiplicativity)
${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$	สมบัติ Subadditivity หรือเรียกว่าอสมการอิงรูปสามเหลี่ยม

สมบัติข้างต้นเป็นสมบัติพื้นฐานที่ใช้ในการนิยามค่าสัมบูรณ์ในกรณีทั่วไป สมบัติด้านล่างเป็นผลจากสมบัติข้างต้นทั้งสี่ข้อ

${\displaystyle {\bigl |}\left|a\right|{\bigr |}=|a|}$	สมบัตินิจพล (Idempotence)
${\displaystyle \left|-a\right|=|a|}$	ความสมมาตรผ่านการสะท้อน หรือ ความเป็นฟังก์ชันคู่
${\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}$	อสมการอิงรูปสามเหลี่ยม
${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\ }$ (เมื่อ ${\displaystyle b\neq 0}$)	สมบัติการแยกหาร
${\displaystyle |a-b|\geq {\bigl |}\left|a\right|-\left|b\right|{\bigr |}}$	อสมการอิงรูปสามเหลี่ยมย้อนกลับ

สมบัติที่สำคัญอีกสองข้อของค่าสัมบูรณ์มีดังนี้

${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$

${\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\ }$ or ${\displaystyle a\geq b}$

ซึ่งใช้ในการแก้อสมการที่เกี่ยวข้องกับค่าสัมบูรณ์ อาทิ

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$	${\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}$
	${\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}$

ค่าสัมบูรณ์บนจำนวนเชิงซ้อน

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ${\displaystyle z=x+yi}$ ใด ๆ เมื่อ ${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }$ เป็นจำนวนจริง จะนิยามค่าสัมบูรณ์หรือมอดุลัสของ ${\displaystyle z}$ ได้ดังนี้

${\displaystyle |z|={\sqrt {[\operatorname {Re} (z)]^{2}+[\operatorname {Im} (z)]^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

เมื่อ Re(z) แทนส่วนจริง และ Im(z) แทนส่วนจินตภาพของจำนวนเชิงซ้อน z