Wilf–Zeilberger-par

Inom matematiken, specifikt inom kombinatorik, är ett Wilf–Zeilberger-par eller WZ-par ett par av funktioner som satisfierar vissa krav och som kan användas till att verifiera flera kombinatoriska identiteter. WZ-paren är uppkallade efter Herbert S. Wilf och Doron Zeilberger.

Definition

Två funktioner F och G bildar ett WZ-par om följande är satisfierat:

${\displaystyle F(n+1,k)-F(n,k)=G(n,k+1)-G(n,k)\,}$

${\displaystyle \lim _{M\to \pm \infty }G(n,M)=0.\,}$

I så fall är

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]=0}$

eftersom

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }[F(n+1,k)-F(n,k)]&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[F(n+1,k)-F(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }\sum _{k=-M}^{M}[G(n,k+1)-G(n,k)]\\&{}=\lim _{M\to \infty }[G(n,M+1)-G(n,-M)]\\&{}=0-0\\&{}=0.\end{aligned}}}$

Om F och G bildar ett WZ-par satisfierar de relationen

${\displaystyle G(n,k)=R(n,k)F(n,k),}$

där ${\displaystyle R(n,k)}$ är en rationell funktion av n och k.

Exempel

Ett WZ-par kan användas till att verifiera identiteten

${\displaystyle \sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{n-k}={2n \choose n}}$

genom att använda

${\displaystyle R(n,k)={\frac {2k-1}{2n+1}}.}$

Definiera följande funktioner:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(n,k)&={\frac {(-1)^{k}{n \choose k}{2k \choose k}4^{n-k}}{2n \choose n}}\\G(n,k)&=R(n,k)F(n,k-1).\end{aligned}}}$

Då bildar F och G ett WZ-par.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Wilf–Zeilberger pair, 9 december 2013.

• Marko Petkovsek, Herbert Wilf och Doron Zeilberger (1996). A=B. AK Peters. ISBN 1-56881-063-6. http://www.math.upenn.edu/~wilf/AeqB.html 
• Tefera, Akalu (2010), ”What Is . . . a Wilf-Zeilberger Pair?”, AMS Notices 57 (04): 508–509, http://www.ams.org/notices/201004/rtx100400508p.pdf .