Tate–Sjafarevitjgrupp

Inom aritmetisk geometri är Tate–Shafarevichgruppen Ш(A/K), introducerad av Lang och Tate (1958) och Shafarevich (1959), av en abelsk varietet A (eller mer allmänt ett gruppschema) definierad över en talkropp K en grupp som består av elementen av Weil–Châteletgruppen WC(A/K) = H¹(G_K, A) som blir triviala i alla kompletteringar av K (d.v.s. den p-adiska kroppen som uppstår ur K, samt även dess reella och komplexa kompletteringar). Med hjälp av Galoiskohomologi kan den skrivas som

${\displaystyle \bigcap _{v}\mathrm {ker} (H^{1}(G_{K},A)\rightarrow H^{1}(G_{K_{v}},A_{v})).}$

Cassels introducerade beteckningen Ш(A/K), där Ш är den kyrilliska bokstaven "Ш", för Sjafarevitj, istället för den äldre beteckningen TS.

Tate–Sjafarevitja förmodan

Tate–Sjafarevitjs förmodan säger att Tate–Sjafarevitjgruppen alltid är ändlig. Rubin (1987) bevisade detta för vissa elliptiska kurvor med rang högst 1 med komplex multiplikation. Kolyvagin (1988) generaliserade detta till modulära elliptiska kurvor över rationella talen med analytisk rang högst 1. (Taniyama-Shimuras sats, som bevisades något senare, bevisade att antagandet att den elliptiska kurvan i fråga alltid är modulär.)

Se även

• Birch–Swinnerton–Dyers förmodan
• Selmergrupp

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Tate–Shafarevich group, 18 juli 2014.

• Cassels, John William Scott (1962), ”Arithmetic on curves of genus 1. III. The Tate–Šafarevič and Selmer groups”, Proceedings of the London Mathematical Society. Third Series 12: 259–296, doi:10.1112/plms/s3-12.1.259, MR 0163913, ISSN 0024-6115 
• Cassels, John William Scott (1962b), ”Arithmetic on curves of genus 1. IV. Proof of the Hauptvermutung”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 211: 95–112, MR 0163915, ISSN 0075-4102, http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002179873 
• Cassels, John William Scott (1991), Lectures on elliptic curves, London Mathematical Society Student Texts, "24", Cambridge University Press, MR 1144763, ISBN 978-0-521-41517-0, http://books.google.com/books?id=zgqUAuEJNJ4C 
• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine geometry: an introduction, Graduate Texts in Mathematics, "201", Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98981-5 
• Greenberg, Ralph (1994), ”Iwasawa Theory and p-adic Deformation of Motives”, i Serre, Jean-Pierre; Jannsen, Uwe; Kleiman, Steven L., Motives, Providence, R.I.: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-1637-0 
• Kolyvagin, V. A. (1988), ”Finiteness of E(Q) and SH(E,Q) for a subclass of Weil curves”, Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya 52 (3): 522–540, 670–671, 954295, ISSN 0373-2436 
• Lang, Serge; Tate, John (1958), ”Principal homogeneous spaces over abelian varieties”, American Journal of Mathematics 80: 659–684, doi:10.2307/2372778, MR 0106226, ISSN 0002-9327, http://www.jstor.org/stable/2372778 
• Lind, Carl-Erik (1940), ”Untersuchungen über die rationalen Punkte der ebenen kubischen Kurven vom Geschlecht Eins”, Thesis, University of Uppsala, 1940: 97, MR 0022563, http://books.google.com/books?id=ZggUAQAAIAAJ 
• Poonen, Bjorn; Stoll, Michael (1999), ”The Cassels-Tate pairing on polarized abelian varieties”, Annals of Mathematics. Second Series 150 (3): 1109–1149, doi:10.2307/121064, MR 1740984, ISSN 0003-486X, http://dx.doi.org/10.2307/121064 
• Rubin, Karl (1987), ”Tate-Shafarevich groups and L-functions of elliptic curves with complex multiplication”, Inventiones Mathematicae 89 (3): 527–559, doi:10.1007/BF01388984, MR 903383, ISSN 0020-9910, http://dx.doi.org/10.1007/BF01388984 
• Selmer, Ernst S. (1951), ”The Diophantine equation ax³+by³+cz³=0”, Acta Mathematica 85: 203–362, doi:10.1007/BF02395746, MR 0041871, ISSN 0001-5962 
• Shafarevich, I. R. (1959), ”The group of principal homogeneous algebraic manifolds” (på russian), Doklady Akademii Nauk SSSR 124: 42–43, MR 0106227 English translation in his collected mathematical papers, ISSN 0002-3264 
• Stein, William A. (2004), ”Shafarevich-Tate groups of nonsquare order”, Modular curves and abelian varieties, Progr. Math., "224", Basel, Boston, Berlin: Birkhäuser, s. 277–289, MR 2058655, arkiverad från ursprungsadressen den 2006-09-07, https://web.archive.org/web/20060907111540/http://modular.fas.harvard.edu/papers/nonsquaresha/final2.ps, läst 18 juli 2014 
• Swinnerton-Dyer, P. (1967), ”The conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer, and of Tate”, i Springer, Tonny A., Proceedings of a Conference on Local Fields (Driebergen, 1966), Berlin, New York: Springer-Verlag, s. 132–157, MR 0230727, http://books.google.com/books/?id=I983HAAACAAJ 
• Tate, John (1958), WC-groups over p-adic fields, Séminaire Bourbaki; 10e année: 1957/1958, "13", Paris: Secrétariat Mathématique, MR 0105420, http://www.numdam.org/item?id=SB_1956-1958__4__265_0 
• Tate, John (1963), ”Duality theorems in Galois cohomology over number fields”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Stockholm, 1962), Djursholm: Inst. Mittag-Leffler, s. 288–295, MR 0175892, arkiverad från ursprungsadressen den 2011-07-17, https://web.archive.org/web/20110717144510/http://mathunion.org/ICM/ICM1962.1/ 
• Weil, André (1955), ”On algebraic groups and homogeneous spaces”, American Journal of Mathematics 77: 493–512, doi:10.2307/2372637, MR 0074084, ISSN 0002-9327, http://www.jstor.org/stable/2372637