Almkvist, som anses vara en av pionjärerna och föregångarna inom bandyn, utgav flera regelböcker för sporten samtidigt som han var aktiv spelare och blev följdriktigt den förste att utnämnas till Stor grabb i svensk bandy. Han håller alltjämt dessutom rekordet för antal SM-guld i bandy, 11 stycken, åren 1907–1920.
Under sin fotbollskarriär gjorde han fyra landskamper och var uttagen i den svenska fotbollstruppen till OS i London 1908. Därutöver spelade han med sitt Uppsala två SM-finaler i fotboll, som dock båda förlorades.
Almkvist var i sin yrkeskarriär utbildad läkare.[3]
Idrottskarriär
Fotboll
Almkvist spelade sammanlagt fyra matcher i Sveriges landslag. Samtliga matcher gjordes under 1908, under vilket år han också deltog i de Olympiska spelen i London. Där blev det en slutlig 4:e plats då Sverige förlorat båda sina matcher. Almkvist deltog i Sveriges första match i turneringen där det blev förlust med 1–12 mot värdlandet Storbritannien.
Med sitt IFK Uppsala spelade han på klubbnivå två SM-finaler som dock båda slutade med förlust; 1908 mot IFK Göteborg (3–4) och 1911 mot AIK (2–3).[4]
Bandy
Almkvist startade sin långa bandykarriär i Upsala Gymnasisters Hockeyklubb redan som 15-åring år 1901. Klubben vann år 1902 Nordiska spelens vandringspris genom att besegra Stockholms Hockeyklubb med 2–0. År 1905 hade man ersatt den gamla "trissan" med en riktig boll. Det året satte Sune Almkvist ett mycket svårslaget målrekord genom att göra 19 mål i en och samma match. Det var i matchen mot Krigsskolan (Karlberg) i Nordiska Spelens hockeyturnering som slutade 27–1.
Sune Almkvist var den första stora svenska bandyspelaren och också den förste som erhöll utmärkelsen Stor grabb. Visserligen brukar man tillskriva greve Clarence von Rosen som den person som förde bandyn till Sverige år 1895 men bandyns spridning bör ändå tillskrivas Almkvist och hans lag IFK Uppsala. De dominerade svensk bandy från första svenska mästerskapet år 1907 fram till år 1920 och som lagkapten ledde Almkvist IFK Uppsala till 11 SM-guld vilket gör honom till den spelare med flest SM-guld i svensk bandys historia.[5]
År 1921 blev Almkvist praktiserande läkare i Stockholm och var från 1931 läkare vid Stockholms stads poliklinik för könssjukdomar.[6] Han kallades ofta för "bandydoktorn".[8]