Attwood, som var son till en bilhandlare, började tävla i racing 1960 i en Triumph TR3. Han blev internationellt känd genom att vinna Formel Junior-loppet i Monaco 1963 i en Lola. Året efter nådde han vissa framgångar i formel 2 i och med segern på Flughafen Aspern i Österrike. Han tävlade under året även i sportvagnsracing i en Ford GT40.
Attwood skulle debuterat i formel 1 i en fyrhjulsdrivenBRM P67 i Storbritannien 1964 men han drog sig tillbaka före start. Säsongen 1965 körde han för Reg Parnell och kom då som bäst sexa i Italien och Mexiko. Säsongen 1967 körde han bara i Kanada, men då för Cooper. Säsongen 1968 fick Attwood köra för BRM-stallet i stället för Mike Spence, som omkommit under testning på Indianapolis Motor Speedway. Höjdpunkten för Attwood blev hans andraplats och snabbaste varv i Monaco. Därefter gick det markant sämre och han fick sparken. Attwood avslutade sin formel 1-karriär i Monaco 1969 för Lotus där han ersatte Jochen Rindt, som skadat sig i loppet innan, och slutade på fjärde plats.