Mertens sats

Inom talteori är Mertens sats tre resultat från 1874 relaterade till primtalens densitet bevisade av Franz Mertens. Mertens sats kan även referera till hans sats inom analys.

Teoremen

I följande betecknar ${\displaystyle p\leq n}$ alla primtalen mindre eller lika stora som n.

Mertens första sats:

${\displaystyle \sum _{p\leq n}{\frac {\ln p}{p}}-\ln n}$

har absolut värde mindre eller lika stort som 2 för alla ${\displaystyle n\geq 2}$.

Mertens andra sats:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln n-M\right)=0}$

där M är Meissel–Mertens konstant. Mer precist bevisar Mertens att uttrycket inom gränsvärdet har absolut värde mindre eller lika stort som

${\displaystyle {\frac {4}{\ln(n+1)}}+{\frac {2}{n\ln n}}}$

för alla ${\displaystyle n\geq 2}$.

Mertens tredje sats:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leq n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },}$

där γ är Eulers konstant.

Källor

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Mertens' theorems, 20 december 2013.