Stroman draftades av Washington Nationals 2009 som 532:a spelare totalt, men inget kontrakt upprättades mellan parterna. Han började i stället studera vid Duke University och spelade för skolans basebollag Duke Blue Devils. Stroman var åter tillgänglig i 2012 års draft och valdes då av Toronto Blue Jays som 22:a spelare totalt.[4]
2012 blev Stroman avstängd i 50 matcher för dopning när det visade sig att hans dopningsprov visade positivt för metylhexanamin.[5]