Mahlers 3/2-problem

Inom matematiken är Mahlers 3/2-problem ett problem gällande existensen av så kallade "Z-tal".

Ett Z-tal är ett reellt tal x sådant att dess bråkdel

${\displaystyle \left\lbrace x\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}\right\rbrace }$

är mindre än 1/2 för alla naturliga tal n. Kurt Mahler förmodade 1968 att det inte finns några Z-tal.

Mer generellt, för ett reellt α, definiera Ω(α) som

${\displaystyle \Omega (\alpha )=\inf _{\theta }\left({\limsup _{n\rightarrow \infty }\left\lbrace {\theta \alpha ^{n}}\right\rbrace -\liminf _{n\rightarrow \infty }\left\lbrace {\theta \alpha ^{n}}\right\rbrace }\right).}$

Mahles förmodan säger alltså att Ω(3/2) är större än 1/2. Flatto, Lagarias och Pollington bevisade^[1] att

${\displaystyle \Omega \left({\frac {p}{q}}\right)>{\frac {1}{p}}}$

för rationella p/q.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Mahler's 3/2 problem, 6 mars 2014.

Noter

1. Flatto, Leopold; Lagarias, Jeffrey C.; Pollington, Andrew D. (1995). ”On the range of fractional parts of ζ { (p/q)ⁿ }”. Acta Arithmetica LXX (2): sid. 125–147. ISSN 0065-1036. 

Källor

• Everest, Graham; van der Poorten, Alf; Shparlinski, Igor; Ward, Thomas (2003). Recurrence sequences. Mathematical Surveys and Monographs. "104". Providence, RI. ISBN 0-8218-3387-1