Lévys C-kurva

Lévys C-kurva även känd som Lévy-draken är en fraktal som har fått sin namn från den franske matematikern Paul Pierre Lévy. Namnet c-kurva kommer från att dess utseende kan jämföras med ett C. Jämfört med Von Kochs kurva eller Sierpinskis kurvor har Lévys C-kurva mer avancerad struktur, men enklare struktur än exempelvis Juliamängden och Mandelbrotmängden. ^[1]

IFS konstruktion

Lévy C-kurva skapad med hjälp av IFS

Lévys c-kurva kan beräknas med hjälp av användning av itererande funktionssystem.

${\displaystyle F=\{f_{0},f_{1}\}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$

Funktionerna ${\displaystyle f_{0}}$ och ${\displaystyle f_{1}}$ består av förminskning med faktorn ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$ och en rotation med ${\displaystyle \pi /4}$ för ${\displaystyle f_{0}}$ och ${\displaystyle -\pi /2}$ för ${\displaystyle f_{1}}$. C-kurvans Attraktor (K) är den mängd som satisfierar:

${\displaystyle K=f_{0}(K)\cup f_{1}(K)}$.

För en kompakt mängd S:

${\displaystyle F(S)=f_{0}(S)\cup f_{1}(S)}$.

${\displaystyle K=F(K)\,\!}$

K är en fixerad punkt i F och

${\displaystyle K=\lim _{k\to \infty }F^{K}(S)}$

Visar att om S är ett linjesegment (med hörn i ${\displaystyle f_{0}}$ och ${\displaystyle f_{1}}$) så kommer funktionen F upprepad oändligt antal gånger existera ändligt. ${\displaystyle S_{k}=F^{k}(S)}$ konvergerar då ${\displaystyle k\to \infty }$ Om mängden ${\displaystyle S_{0}}$ är ett linjesegment med hörn i ${\displaystyle f_{0}(K)}$ och ${\displaystyle f_{1}(K)}$ så kommer denna linje transformeras om till en rätvinklig triangel som saknar baslinje. Vid nästa steg i iterationen kommer de två linjerna (som kan ses som sidor i en triangel) att bilda två nya trianglar som saknar hypotenusa. Se figur. ^[2]

L-system konstruktion

Första åtta stegen i Lévy C-kurva

Lévy C-kurva (L-system efter 12 steg)

Vid konstruktion med hjälp av L-systemet bildas C-kurvan genom:

Variabel	F
Vinkel	45°
Regel	F${\displaystyle \to }$+F--F+

Där F innebär ett rakt streck, + innebär rotera medurs 45° och - innebär rotera moturs 45°. ^[3]

Hausdorffdimension

Hausdorffdimensionen hos Lévys C-kurva beräknades först av Duvall och Keesling 1998 till:

D = 1,934007183...

Senare räknade även Strichartz och Wang ut den till samma värde men med hjälp av ett annat tillvägagångssätt. ^[2]

Insidan av Lévy C-kurvan

Lévy bevisade att C-kurvan har en insida som byggs upp av ett stort antal små element. Alla dessa element är endimensionella och en bestämd längd. Det finns även en begränsad mängd element som C-kurvan består av.^[2][1]

Se även

Lévy C-kurva variant (skapad med hjälp av IFS)

• Fraktalkonst
• Kaosteori
• https://web.archive.org/web/20110719175937/http://www.mathlab.cornell.edu/~twk6/ komplement till "Inside the Levy Dragon"
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=levy+c-curve&f1=1&f=LevyFractal.n_1

Referenser

• http://mathworld.wolfram.com/LevyFractal.html

Noter

1. ^ [ ] S. Bailey, T. Kim, R. S. Strichartz, Inside the Lévy dragon, American Mathematical Monthly 109(8) (2002) pp 689–703
2. ^ [ ] Alster, E. 2010, "The finite number of interior component shapes of the Levy dragon", Discrete and Computational Geometry, vol. 43, no. 4, pp. 855-875.
3. ”Arkiverade kopian”. Arkiverad från originalet den 18 maj 2011. https://web.archive.org/web/20110518012330/http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/levy/levy.htm. Läst 9 maj 2011. 

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Lévys C-kurva.