Likformig konvergens

Inom matematiken sägs en följd av funktioner ${\displaystyle f_{i}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ konvergera likformigt mot en funktion ${\displaystyle f}$ på en mängd ${\displaystyle I}$ om följande villkor uppfylls:

• För varje ${\displaystyle \epsilon >0}$ finns ett ${\displaystyle N\in \mathbb {R} }$ så att för alla ${\displaystyle x\in I}$ gäller att ${\displaystyle n>N}$ implicerar ${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$

Detta skall jämföras med villkoret att följden endast konvergerar (punktvis konvergens), som lyder enligt följande:

• För varje ${\displaystyle x\in I}$ och ${\displaystyle \epsilon >0}$ så finns ett ${\displaystyle N\in \mathbb {R} }$ så att ${\displaystyle n>N}$ medför att${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$

Exempel

1. Följden ${\displaystyle f_{n}={\frac {\sin x}{n}}}$ konvergerar likformigt mot ${\displaystyle 0}$ på ${\displaystyle \mathbb {R} }$.
2. Följden ${\displaystyle f_{n}={\frac {x}{n}}}$ konvergerar mot ${\displaystyle 0}$ för alla ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle \mathbb {R} }$, men inte likformigt
3. Följden ${\displaystyle f_{n}=x^{n}}$ konvergerar, men inte likformigt, mot funktionen ${\displaystyle g}$ på intervallet ${\displaystyle [0,1]}$ där ${\displaystyle g}$ är funktionen som har värdet ${\displaystyle 1}$ i punkten ${\displaystyle 1}$ och värdet ${\displaystyle 0}$ annars.

Egenskaper

Likformig konvergens är ett viktigt begrepp i analysens grunder, eftersom det används för att sluta sig till egenskaper hos en funktion ${\displaystyle f}$ som är gränsvärdet av en följd ${\displaystyle f_{i}}$ utifrån egenskaper hos funktionerna ${\displaystyle f_{i}}$. Till exempel gäller att en om en följd av kontinuerliga funktioner konvergerar likformigt mot en funktion, är även denna funktion kontinuerlig. I exempel 3 ovan är varje ${\displaystyle f_{n}}$ kontinuerlig medan gränsfunktionen, ${\displaystyle g}$, är diskontinuerlig varför funktionsföljden inte kan konvergera likformigt.

Att en funktionsföljd ${\displaystyle (f_{n})_{n=1}^{\infty }}$ konvergerar punktvis mot en funktion ${\displaystyle f}$ är ett krav för likformig konvergens. Den likformiga gränsfunktionen är då nödvändigtvis ${\displaystyle f}$. Med supremumnormen kan vi säga att en funktionsföljd konvergerar om och endast om:

${\displaystyle \sup _{x\in I}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0,\quad n\to \infty }$,

vilket är ekvivalent med definitionen ovan, men oftast enklare att räkna med. Processen blir då att först bestämma den punktvisa gränsfunktionen ${\displaystyle f}$ och sedan kontrollera gränsvärdet:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{\infty }=\lim _{n\to \infty }\sup _{t}|f_{n}(t)-f(t)|}$

som ska vara ${\displaystyle 0}$ om vi har likformig konvergensen.

Ett annat bra sätt att ta reda på om en funktionsserie konvergerar är med Weierstrass majorantsats.

Gränsövergång under integraltecknet

Om vi har en funktionsföljd ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ som konvergerar likformigt på intervallet [a,b] så gäller det att:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx=\int _{a}^{b}\left(\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\right)dx}$

Detta är långt ifrån självklart och därför en viktig motivering till begreppet likformighet

Bevis

Låt oss teckna ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x)}$. Vidare ger oss kravet på likformighet att:

${\displaystyle |f_{n}(x)-f(x)|<\epsilon }$ då ${\displaystyle a\leq x\leq b}$ och ${\displaystyle n\geq N}$

Vi undersöker vårt påstådda gränsvärde:

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f_{n}(x)dx-\int _{a}^{b}f(x)dx\right|=\left|\int _{a}^{b}\left(f_{n}(x)-f(x)\right)dx\right|\leq \left\{{\mbox{ triangelolikheten }}\right\}\leq }$

${\displaystyle \leq \int _{a}^{b}|f_{n}(x)-f(x)|dx\leq \epsilon \left(b-a\right)}$ då ${\displaystyle n\geq N}$

Vilket bekräftar vår tes

Funktionsserie

Vi kan även betrakta en funktionsserie ${\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$där ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}u_{k}(x)}$ och ${\displaystyle s=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)}$ som konvergerar likformigt då ${\displaystyle x\in I}$ där ${\displaystyle I}$ är konvergensområdet. Med denna notation fås att:

${\displaystyle \int _{I}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)dx=\sum _{k=1}^{\infty }\int _{I}u_{k}(x)dx}$

Bevis

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }\int _{I}u_{k}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}\int _{I}u_{k}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{I}\sum _{k=1}^{n}u_{k}(x)dx=\lim _{n\to \infty }\int _{I}s_{n}(x)dx={\mbox{ situationen som ovan }}=}$

${\displaystyle =\int _{I}\lim _{n\to \infty }s_{n}(x)dx=\int _{I}\left(\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(x)\right)dx}$

Vilket skulle visas.