Kramers–Kronig-relationerna

Kramers–Kronig-relationerna är två matematiska relationer som måste gälla mellan real- och imaginärdelen av Fouriertransformen av en linjär responsfunktion ${\displaystyle \chi (t)}$ som uppfyller kausalitetskravet ${\displaystyle \chi (t)=0}$ för ${\displaystyle t<0}$.

Kausalitet innebär att responsfunktionen ${\displaystyle \chi (t)}$ måste uppfylla kravet ${\displaystyle \chi (t)=0}$ för ${\displaystyle t<0}$. Detta får följder även för den Fouriertransformerade responsfunktionen ${\displaystyle \chi (\omega )}$. Relationen mellan dem ges av

${\displaystyle \chi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\omega }{2\pi }}e^{-i\omega t}\chi (\omega ).}$

Om ${\displaystyle t<0}$ kan integralen utvärderas genom en konturintegral som utsträcker sig i den övre halvan av det komplexa talplanet. Eftersom ${\displaystyle \chi (t)=0}$ för ${\displaystyle t<0}$, måste ${\displaystyle \chi (\omega )}$ sakna poler i den övre halvan av det komplexa talplanet.

Kausalitetskrav ${\displaystyle \chi (\omega )}$ är analytisk för ${\displaystyle {\text{Im }}\omega >0}$

Detta kausalitetskrav medför att ${\displaystyle \chi '(\omega )}$ och ${\displaystyle \chi ''(\omega )}$ inte är helt oberoende av varandra. Istället är de direkt relaterade till varandra genom de så kallade Kramers–Kronig-relationerna:

Kramers–Kronig-relationerna ${\displaystyle {\text{Re }}\chi (\omega )={\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {d\omega '}{\pi }}{\frac {{\text{Im }}(\chi (\omega '))}{\omega '-\omega }}}$ ${\displaystyle {\text{Im }}\chi (\omega )=-{\mathcal {P}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {d\omega '}{\pi }}{\frac {{\text{Re }}(\chi (\omega '))}{\omega '-\omega }}}$

där ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ betecknar principalvärdet av integralen.