Komplexkonjugat

Komplexa tal och deras konjugerade värden i det komplexa talplanet. Talen är varandras speglingar i den reella axeln

Komplexkonjugatet till ett komplext tal är det komplexa tal som har samma realdel och där imaginärdelen har samma belopp men är av motsatt tecken^[1]. Konjugering innebär att i det komplexa talplanet avbilda talet som dess spegling i den reella axeln. Komplexkonjugatet av ett tal ${\displaystyle \ z=a+b\,\mathrm {i} }$ betecknas med ${\displaystyle {\bar {z}}}$ eller ${\displaystyle z^{*}}$ och kan definieras som

${\displaystyle {\bar {z}}={\overline {a+b\,\mathrm {i} }}=a-b\,\mathrm {i} \quad a,b\in \mathbb {R} }$

Till exempel är

${\displaystyle {\overline {2+3\,\mathrm {i} }}=2-3\,\mathrm {i} }$

${\displaystyle {\overline {5}}=5}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {i} }}=-\mathrm {i} }$

Egenskaper

För alla komplexa tal ${\displaystyle z}$ och ${\displaystyle w}$ gäller

${\displaystyle {\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}}$

${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}}$

${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}$ om ${\displaystyle w\neq 0}$

${\displaystyle {\overline {z}}=z\!\ }$ om och endast om ${\displaystyle \ z}$ är reellt

${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$

${\displaystyle \arg({\overline {z}})=-\arg(z)}$

${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}}$

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\ \left|z\right|^{2}}}}$ om ${\displaystyle z\neq 0}$

Komplexkonjugering är ett av de enklaste exemplen på en icke-analytisk funktion.

Referenser

Noter

1. Weisstein, Eric W. "Complex Conjugate." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ComplexConjugate.html