Gelfand–Kirillovdimension

Inom matematiken är Gelfand–Kirillodimensionen (eller GK-dimensionen) av en högermodul M över en k-algebra A

${\displaystyle \operatorname {GKdim} =\sup _{V,M_{0}}\limsup _{n\to \infty }\log _{n}\dim _{k}M_{0}V^{n}}$

där sup tas över alla ändligdimensionella delrum ${\displaystyle V\subset A}$ och ${\displaystyle M_{0}\subset M}$.

En algebra säges ha polynomisk tillväxt om dess Gelfand–Kirillovdimension är ändlig.

Grundläggande egenskaper

• Gelfand–Kirillovdimensionen av en ändligtgenererad kommutativ algebra A över en kropp är lika med Krulldimensionen av A (eller ekvivalent transcendensgraden av kroppen av fraktioner av A över baskroppen.)
• Speciellt är GK-dimensionen av polynomringen ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ lika med n.
• (Warfield) För varje reellt tal r ≥ 2 finns det en ändligtgenererad algebra vars GK-dimension är r.^[1]

Inom teorin av D-moduler

Givet en högermodul M över Weylalgebran ${\displaystyle A_{n}}$ är Gelfand–Kirillovdimensionen av M över Weylalgebran lika med M, som enligt definition är graden av Hilbertpolynomet av M. Detta möjliggör bevisandet av additivitet av Gelfand–Kirillovdimensionen i korta exakta följder och slutligen beviset av Bernsteins olikhet, som säger att simensionen av M är minst n. Detta leder till definitionen av holonomiska D-moduler som de moduler med minimal dimension n, och dessa moduler har en viktig roll i geometriska Langlands program.

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Gelfand–Kirillov dimension, 14 juli 2014.

Noter

1. Artin 1999, Theorem VI.2.1.

Källor

• Smith, S. Paul; Zhang, James J. (1998). ”A remark on Gelfand–Kirillov dimension”. Proceedings of the American Mathematical Society 126: sid. 349–352. http://www.math.washington.edu/~smith/Research/GK-rmk.pdf. 
• Coutinho: A primer of algebraic D-modules. Cambridge, 1995

Vidare läsning

• Artin, Michael (1999). ”Noncommutative Rings”. Chapter VI. http://math.mit.edu/~etingof/artinnotes.pdf.