Cosinussatsen

Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln.

Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ:

Då gäller att^[1]

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta }$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma }$

Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0.

Bevis

Bevis med Pythagoras sats

Eftersom vinkeln mellan ${\displaystyle h}$ och ${\displaystyle c}$ är rät, ger Pythagoras sats:

${\displaystyle \ a^{2}=\left(a\cos \beta \right)^{2}+h^{2}}$ och ${\displaystyle b^{2}=\left(b\cos \alpha \right)^{2}+h^{2}\Leftrightarrow h^{2}=b^{2}-\left(b\cos \alpha \right)^{2}}$

vilka ger:

${\displaystyle \ a^{2}=\left(a\cos \beta \right)^{2}+h^{2}=\left(a\cos \beta \right)^{2}+\left(b^{2}-\left(b\cos \alpha \right)^{2}\right)}$

Enligt definitionen på cosinus är:

${\displaystyle |{\overline {BD}}|=a\cos \beta }$ och ${\displaystyle |{\overline {DA}}|=b\cos \alpha }$

och då ${\displaystyle c=|{\overline {BA}}|=|{\overline {BD}}|+|{\overline {DA}}|=a\cos \beta +b\cos \alpha }$ får vi:

${\displaystyle \ a\cos \beta =c-b\cos \alpha }$

vilket om det insätts i uttrycket för ${\displaystyle \ a^{2}}$ ger

${\displaystyle a^{2}=\left(c-b\cos \alpha \right)^{2}+b^{2}-\left(b\cos \alpha \right)^{2}=c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha +\left(b\cos \alpha \right)^{2}+b^{2}-\left(b\cos \alpha \right)^{2}\Rightarrow }$

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha }$

Bevis med avståndsformeln

En triangel har sidorna a, b, c. Genom att placera triangeln i ett koordinatsystem kan sidlängderna beräknas enligt avståndsformeln med

${\displaystyle A=(b\cos \theta ,b\sin \theta ),\quad B=(a,0),\quad C=(0,0)}$

Med hjälp av avståndsformeln kan längden av sidan c skrivas som

${\displaystyle c={\sqrt {(a-b\cos \theta )^{2}+(0-b\sin \theta )^{2}}}\quad \Rightarrow }$

${\displaystyle c^{2}=(a-b\cos \theta )^{2}+(-b\sin \theta )^{2}}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}-2ab\cos \theta +(b\cos \theta )^{2}+(b\sin \theta )^{2}}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta }$

och slutligen (via "trigonometriska ettan": ${\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1}$)

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \theta }$

Se även

• Areasatsen
• Sinussatsen
• Tangenssatsen
• Sinus
• Cosinus
• Tangens

Referenser

1. Ekbom, Lennart (1978). Tabeller och formler N T Te. Nacka: Esselte Studium. sid. 56. ISBN 91-24-27604-9