Bra-ket-notation

Kvantmekanik

Teori: Vågfunktion Schrödingerekvationen Osäkerhetsprincipen Pauliprincipen Energinivå Partikel i låda Harmonisk oscillator Väteatomen Identiska partiklar Spinn Kvanttal Bra-ket-notation Störningsteori Variationsmetoden Tolkningar: Köpenhamnstolkningen Flervärldstolkningen Schrödingers katt EPR-paradoxen Bells teorem Persongalleri Einstein | Schrödinger Heisenberg | Dirac | Fermi Bohr | Planck | Born

Bra-ket-notation, eller Diracnotation, är en notation för att beskriva kvanttillstånd inom kvantmekaniken. Orden bra och ket kommer från bracket (klammer), ${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }$ för att beteckna överlappet mellan två tillstånd, den vänstra delen, ${\displaystyle \langle \phi |}$, kallad bra, och den högra delen, ${\displaystyle |\psi \rangle }$, kallad ket.

Notationen introducerades av den brittiske fysikern Paul Dirac och är en utveckling av en notation för att beskriva inre produkter av vektorer (kvanttillstånd) i Hilbertrum.

Kvanttillstånd

Ett kvanttillstånd betecknas med bra-ket-notation som ${\displaystyle |\psi \rangle }$, där ${\displaystyle \psi }$ kan ses som namnet på tillståndet medan ${\displaystyle |\cdot \rangle }$ markerar att det är ett kvanttillstånd. En sådan beteckning kallas även ket. Olika tillstånd har olika namn, vanligtvis givna av grekiska bokstäver, till exempel ${\displaystyle |\psi \rangle }$ och ${\displaystyle |\phi \rangle }$. Varierande notation förekommer, i vissa sammanhang används till exempel stora grekiska bokstäver, ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ och ${\displaystyle |\Phi \rangle }$, för flerpartikeltillstånd.

I många fall behövs en notation för en hel mängd av tillstånd. Tillstånden numreras då vanligtvis med något index, till exempel ${\displaystyle n}$, där ${\displaystyle n}$ antar ett antal olika värden, såsom de naturliga talen (${\displaystyle n=0,1,2,3,...}$). Ett tillstånd betecknas då av ${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$ (eller enbart ${\displaystyle |n\rangle }$), medan mängden av alla tillstånd ges av exempelvis ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$ eller ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty }}$.

I vissa fall, särskilt för sammansatta system eller system med olika frihetsgrader, används flera index, så kallade kvanttal, för att beskriva kvanttillståndet, exempelvis ${\displaystyle |a,b,c\rangle }$. Till exempel kan detta beskriva ett tillstånd för tre partiklar, där en befinner sig i tillstånd ${\displaystyle |a\rangle }$, en i ${\displaystyle |b\rangle }$ och en i ${\displaystyle |c\rangle }$. Det kan också beskriva en enda partikels tillstånd. Exempelvis ges tillståndet för en elektron i en atom av ${\displaystyle |n,l,m_{l},m_{s}\rangle }$, där ${\displaystyle n}$ är huvudkvanttalet, ${\displaystyle l}$ är bankvanttalet, ${\displaystyle m_{l}}$ är det magnetiska kvanttalet och ${\displaystyle m_{s}}$ är spinnprojektionskvanttalet.

Inre produkter

En inre produkt mellan två kvanttillstånd ${\displaystyle |\psi \rangle }$ och ${\displaystyle |\phi \rangle }$ betecknas med bra-ket-notation som ${\displaystyle \langle \psi |\phi \rangle }$. Tillståndet ${\displaystyle \langle \psi |}$ kallas bra och är ett tillstånd tillhörande dualrummet till det Hilbertrum ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ där ket-tillstånden ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ingår. Bra-tillstånden ${\displaystyle \langle \psi |}$ är linjära funktionaler på ket-tillstånden ${\displaystyle |\phi \rangle }$. Speciellt gäller ${\displaystyle \langle \phi |\phi \rangle =1}$ om tillstånden är normaliserade.

Inre produkter är framför allt användbara för att uttrycka ett tillstånd ${\displaystyle |\phi \rangle }$ i en bas av ortonormala kvanttillstånd ${\displaystyle \{|\psi _{n}\rangle \}}$:

${\displaystyle |\phi \rangle =\sum _{n}\langle \psi _{n}|\phi \rangle |\psi _{n}\rangle }$

Yttre produkter

En yttre produkt mellan två kvanttillstånd ${\displaystyle |\psi \rangle }$ och ${\displaystyle |\phi \rangle }$ betecknas med bra-ket-notation som ${\displaystyle |\psi \rangle \langle \phi |}$.

Tensorprodukter

En tensorprodukt mellan två kvanttillstånd ${\displaystyle |\psi \rangle }$ och ${\displaystyle |\phi \rangle }$ betecknas med bra-ket-notation som ${\displaystyle |\psi \rangle \otimes |\phi \rangle }$ alternativt ${\displaystyle |\psi \rangle |\phi \rangle }$ eller enbart ${\displaystyle |\psi ,\phi \rangle }$.

Se även

• Kvanttal
• Kvanttillstånd

Källor

• Dirac, P. A. M. (1958) [1930]. The Principles of Quantum Mechanics (4th revised edition). Oxford University Press. ISBN 0-19-852011-5 
• Sakurai, J.J.; Jim Napolitano (2007). Modern Quantum Mechanics (andra upplagan). Pearson Education. ISBN 9780321503367 

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Bra-ket-notation.
  Bilder & media