Absolut Galoisgrupp

Inom matematiken är den absoluta Galoisgruppen G_K av en kropp K Galoisgruppen av K^sep över K, där K^sep är ett separabelt hölje av K. Alternativt är den gruppen av alla automorfier av det algebraiska höljet av K som fixerar K. Den absoluta Galoisgruppen är unik så när som på isomorfi. Den är en proändlig grupp.

Då K är en perfekt kropp, är K^sep samma som det algebraiska höljet K^alg av K. Detta gäller t.ex. för K med karakteristik noll, eller då K är en ändlig kropp.

Exempel

• Den absoluta Galoisgruppen av en algebraiskt sluten kropp är trivial.
• Den absoluta Galoisgruppen av reella talen är en cyklisk grupp av två element (komplexkonjugation och identiteten), eftersom C är det separabla höljet av R och [C:R] = 2.
• Den aboluta Galoisgruppen av en ändlig kropp K är isomorfisk till gruppen

${\displaystyle {\hat {\mathbf {Z} }}=\varprojlim \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} .}$

(För beteckningen, se inverst limes.)

Frobeniusautomorfin Fr är en kanonisk (topologisk) generator av G_K. (Frobeniusautomorfin definieras som Fr(x) = x^q för alla x i K^alg, där q är antalet element i K.)

• Den absoluta Galoishgruppen av kroppen av rationella funktioner med komplexa koefficienter är fri (som en proändlig grupp). Detta resultat bevisades av Adrien Douady och har sina rötter i Riemanns existenssats.^[1]
• Mer allmänt, låt C vara en algebraiskt sluten kropp och x en variabel. Då är den absoluta Galoisgruppen av K = C(x) fri med ranf lika med kardinaliteten av C. Detta resultat upptäcktes av David Harbater och Florian Pop, och bevisades senare även av Dan Haran och Moshe Jarden med algebraiska metoder.^[2][3][4]
• Låt K vara en ändlig utvidgning av p-adiska talen Q_p. För p ≠ 2 är dess absoluta Galoisgrupp genererad av [K:Q_p] + 3 element och har en explicit beskrivning av generatorer och relationer. Detta är ett resultat av Uwe Jannsen och Kay Wingberg.^[5][6] Några resultat är kända i fallet p = 2, men strukturen av Q₂ är inte känd.^[7]
• Ett annat fall då den absoluta Galoisgruppen kan bestämmas är den största totalt reella delkroppen av kroppen av algebraiska talen.^[8]

Några allmänna resultat

• Varje proändlig grupp förekommer som Galoisgruppen av någon Galoisutvidgning,^[9] men varje proändlig grupp förekommer inte som en absolut Galoisgrupp.

• Varje projektiv proändlig grupp kan ses som den absoluta Galoisgruppen av en pseudoalgebraiskt sluten kropp. Detta bevisades av Alexander Lubotzky och Lou van den Dries.^[10]

Referenser

Den här artikeln är helt eller delvis baserad på material från engelskspråkiga Wikipedia, Absolute Galois group, 3 augusti 2014.

Källor

• Douady, Adrien (1964), ”Détermination d'un groupe de Galois”, Comptes Rendues de l'Académie des Sciences de Paris 258: 5305–5308 
• Fried, Michael D.; Jarden, Moshe (2008), Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, "11" (3rd), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-77269-9 
• Haran, Dan; Jarden, Moshe (2000), ”The absolute Galois group of C(x)”, Pacific Journal of Mathematics 196 (2): 445–459, doi:10.2140/pjm.2000.196.445 
• Harbater, David, ”Fundamental groups and embedding problems in characteristic p”, Recent developments in the inverse Galois problem, Contemporary Mathematics, "186", Providence, RI: American Mathematical Society, s. 353–369 
• Jannsen, Uwe; Wingberg, Kay (1982), ”Die Struktur der absoluten Galoisgruppe ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$-adischer Zahlkörper”, Inventiones Mathematicae 70: 71–78, doi:10.1007/bf01393199 
• Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Cohomology of Number Fields, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, "323", Berlin: Springer-Verlag, MR 1737196, ISBN 978-3-540-66671-4 
• Pop, Florian (1995), ”Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture”, Inventiones Mathematicae 120 (3): 555–578, doi:10.1007/bf01241142 

Noter

1. Douady 1964.
2. Harbater 1995.
3. Pop 1995.
4. Haran & Jarden 2000.
5. Jannsen & Wingberg 1982.
6. Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000, theorem 7.5.10.
7. Neukirch, Schmidt & Wingberg 2000, §VII.5.
8. http://math.uci.edu/~mfried/paplist-cov/QTotallyReal.pdf
9. Fried & Jarden (2008) p.12
10. Fried & Jarden (2008) pp. 208, 545