Полигонални број

У математици, полигонални број је број представљен у облику тачака или каменчића распоређених у облику правилног полигона. Тачке се сматрају алфама (јединицама). Ово је једна врста 2-димензионалних фигуралних бројева.

Дефиниција и примери

Број 10, на пример, може бити представљен као троугао (види троугаони број):

Али 10 не може бити квадрат. Број 9, са друге стране, може (види квадратни број):

Неки бројеви, као 36, могу бити представљени и као квадрат и као троугао (види квадратни троугаони бројеви):

По конвенцији, 1 је први полигонални број за било који број страна. Правило за проширење полигона на следећу величину је да се продуже две суседне стране у једном тренутку и да затим додајете потребне додатне стране између тих тачака. У наредним дијаграмима, сваки додатни слој је приказан као црвени.

Троугаони бројеви

Квадратни бројеви

Полигонални бројеви са већим бројем страна, као што су пентагони и хексагони, могу такође бити конструисани према овом правилу, иако тачке неће формирати перфектно правилну решетку као горе.

Пентагонални бројеви

Хексагонални бројеви

Формула

Ако је ѕ број страна полигона, формула за n^th s-гонални број P(s,n) је

${\displaystyle P(s,n)={\frac {n^{2}(s-2)-n(s-4)}{2}}}$

или

${\displaystyle P(s,n)=(s-2){\frac {n(n-1)}{2}}+n}$

 n^th s-гонални број је такође повезан са троугаоним бројем T_n на следећи начин:

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n=(s-3)T_{n-1}+T_{n}\,.}$

Онда:

${\displaystyle P(s,n+1)-P(s,n)=(s-2)n+1\,,}$

${\displaystyle P(s+1,n)-P(s,n)=T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2}}\,.}$

За дати ѕ-гонални број P(s,n) = x, можемо наћи n помоћу

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8(s-2)x+(s-4)^{2}}}+(s-4)}{2(s-2)}}.}$

Сваки хексагонални број је и троугаони број

Примена горенаведене формуле:

${\displaystyle P(s,n)=(s-2)T_{n-1}+n}$

за случај од 6 страна добијамо:

${\displaystyle P(6,n)=4T_{n-1}+n}$

али како је:

${\displaystyle T_{n-1}=n(n-1)/2}$

следи да је:

${\displaystyle P(6,n)=4n(n-1)/2+n=2n(2n-1)/2=T_{2n-1}}$

Ово показује да је ${\displaystyle n^{th}}$ хексагонални број, ${\displaystyle P(6,n)}$ једнак ${\displaystyle (2n-1)^{st}}$ троугаоном броју, ${\displaystyle T_{2n-1}}$. Можемо наћи сваки хексагонални број једноставним узимањем непарних троугаоних бројева:

1, 3, 6, 10,15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, ...

Табела вредности

Првих 6 вредности у колони Збир реципрочних вредности, за троугаони до октагоналног броја, произлази из објављеног решења за општи проблем, који такође даје општу формулу за било који број страна, у темину дигама функције.^[1]

s	Име	Формула	н = 1	н = 2	н = 3	н = 4	н = 5	н = 6	н = 7	н = 8	н = 9	н = 10	Збир реципрочних бројева[1][2]	ОЕИС број
3	Троугаони	½(n²+n)	1	3	6	10	15	21	28	36	45	55	${\displaystyle {2}}$[1]	A000217
4	Квадрат	n² = ½(2n² - 0n)	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	${\displaystyle {\pi ^{2} \over 6}}$[1]	A000290
5	Пентагонални	½(3n² - n)	1	5	12	22	35	51	70	92	117	145	${\displaystyle {3\ln \left(3\right)}-{\pi {\sqrt {3}} \over 3}}$[1]	A000326
6	Хексагонални	½(4n² - 2n)	1	6	15	28	45	66	91	120	153	190	${\displaystyle {2\ln \left(2\right)}}$[1]	A000384
7	Хептагонални	½(5n² - 3n)	1	7	18	34	55	81	112	148	189	235	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {2}{3}}\ln(5)\\+{\frac {{1}+{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)\\+{\frac {{1}-{\sqrt {5}}}{3}}\ln \left({\frac {1}{2}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)\\+{\frac {1}{15}}{\pi }{\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\end{matrix}}}$[1]	A000566
8	Октагонални	½(6n² - 4n)	1	8	21	40	65	96	133	176	225	280	${\displaystyle {{3\ln \left(3\right) \over 4}+{\pi {\sqrt {3}} \over 12}}}$[1]	A000567
9	Нонагонални (енегонални)	½(7n² - 5n)	1	9	24	46	75	111	154	204	261	325	A001106
10	Декагонални	½(8n² - 6n)	1	10	27	52	85	126	175	232	297	370	${\displaystyle {{\ln \left(2\right)}+{\pi \over 6}}}$	A001107
11	Хендекагонални	½(9n² - 7n)	1	11	30	58	95	141	196	260	333	415	A051682
12	Додекагонални	½(10n² - 8n)	1	12	33	64	105	156	217	288	369	460	A051624
13	Тридекагонални	½(11n² - 9n)	1	13	36	70	115	171	238	316	405	505	A051865
14	Тетрадекагонални	½(12n² - 10n)	1	14	39	76	125	186	259	344	441	550	${\displaystyle {{2\ln \left(2\right) \over 5}+{3\ln \left(3\right) \over 10}+{\pi {\sqrt {3}} \over 10}}}$	A051866
15	Пентадекагонални	½(13n² - 11n)	1	15	42	82	135	201	280	372	477	595	A051867
16	Хексадекагонални	½(14n² - 12n)	1	16	45	88	145	216	301	400	513	640	A051868
17	Хептадекагонални	½(15n² - 13n)	1	17	48	94	155	231	322	428	549	685	A051869
18	Октадекагонални	½(16n² - 14n)	1	18	51	100	165	246	343	456	585	730	${\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {4}{7}}\ln {\left(2\right)}\\-{\frac {\sqrt {2}}{14}}\ln \left(3-2{\sqrt {2}}\right)\\+\pi {\frac {\left(1+{\sqrt {2}}\right)}{14}}\end{matrix}}}$	A051870
19	Енедекагонални	½(17n² - 15n)	1	19	54	106	175	261	364	484	621	775	A051871
20	Икосагонални	½(18n² - 16n)	1	20	57	112	185	276	385	512	657	820	A051872
21	Икосигенагонални	½(19n² - 17n)	1	21	60	118	195	291	406	540	693	865	A051873
22	Икосидигонални	½(20n² - 18n)	1	22	63	124	205	306	427	568	729	910	A051874
23	Икоситригонални	½(21n² - 19n)	1	23	66	130	215	321	448	596	765	955	A051875
24	Икоситетрагонални	½(22n² - 20n)	1	24	69	136	225	336	469	624	801	1000	A051876
25	Икосипентагонални	½(23n² - 21n)	1	25	72	142	235	351	490	652	837	1045	A255184
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
10000	Мириагонални	½(9998n² - 9996n)	1	10000	29997	59992	99985	149976	209965	279952	359937	449920	A167149

Онлине Енциклопедија Целобројних Редова избегава термине користећи се грчким префиксима (нпр. „октагонални) уместо термина користећи бројеве (нпр. „8-гонални).

Својство ове табеле се може изразити наредним идентитетом (види A086270):

${\displaystyle 2\,P(s,n)=P(s+k,n)+P(s-k,n),}$

са

${\displaystyle k=0,1,2,3,...,s-3.}$

Комбинације

Неки бројеви, као што је 36 који су и квадратни и троугаони, спадају у два полигонална сета. Проблем утврђивања, с обзиром на два таква сета, сви бројеви који припадају и квадратним и троугаоним могу се решити смањењем проблема Пеловом једначином. Најједноставнији пример овога је ред квадратних троугаоних бројева.

Следећа табела сумира сет с-гоналних т-гоналних бројева за мале вредности с и т.

с	т	Ред	ОЕИС број
4	3	1, 36, 1225, 41616, 1413721, 48024900, 1631432881, 55420693056, 1882672131025, 63955431761796, 2172602007770041, 73804512832419600, 2507180834294496361, 85170343853180456676, 2893284510173841030625, 98286503002057414584576, 3338847817559778254844961, ...	A001110
5	3	1, 210, 40755, 7906276, …	A014979
5	4	1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, ...	A036353
6	3	Сви хексагонални бројеви су и троугаони.	A000384
6	4	Непарни троугаони квадратни бројеви.	A046177
6	5	1, 40755, 1533776805, …	A046180
7	3	1, 55, 121771, 5720653, …	A046194
7	4	1, 81, 5929, 2307361, 168662169, 12328771225, 4797839017609, 350709705290025, 25635978392186449, 9976444135331412025, 729252434211108535809, 53306479301521270428241, 20744638830126197732344369, 1516379800105728357531817761, 110843467413344235941816109721, 43135613687078894324987720634481, 3153102533906718276539864534846601, …	A036354
7	5	1, 4347, 16701685, 64167869935, …	A048900
7	6	1, 121771, 12625478965, …	A048903
8	3	1, 21, 11781, 203841, …	A046183
8	4	1, 225, 43681, 8473921, 1643897025, 318907548961, 61866420601441, 12001766689130625, 2328280871270739841, 451674487259834398561, 87622522247536602581025, 16998317641534841066320321, …	A036428
8	5	1, 176, 1575425, 234631320, …	A046189
8	6	1, 11781, 113123361, …	A046192
8	7	1, 297045, 69010153345, …	A048906
9	3	1, 325, 82621, 20985481, …	A048909
9	4	1, 9, 1089, 8281, 978121, 7436529, 878351769, 6677994961, 788758910641, 5996832038649, 708304623404049, 5385148492712041, 636056763057925561, 4835857349623374369, 571178264921393749929, 4342594514813297471521, 512917445842648529510881, 3899645038444991506051689, 460599295188433458107021409, 3501876901929087559136945401, 413617654161767402731575714601, …	A036411
9	5	1, 651, 180868051, …	A048915
9	6	1, 325, 5330229625, …	A048918
9	7	1, 26884, 542041975, …	A048921
9	8	1, 631125, 286703855361, …	A048924
10	3	1, 10, 1540, 1777555, 13773376, 2051297326, 15894464365, 2367195337045, 18342198104230, ...
10	4	1 и ниједан други.
11	4	1, 196, 29241, 1755625, 261468900, 38941102225, 2337990844401, 348201795147556, 51858411008887561, 3113535139359330841, ...
12	4	1, 64, 3025, 142129, 6677056, 313679521, 14736260449, 692290561600, 32522920134769, 1527884955772561, 71778070001175616, 3372041405099481409, 158414167969674450625, 7442093853169599697984, 349619996931001511354641, 16424697761903901433970161, 771611174812552365885242944, 36249300518428057295172448225, 1702945513191306140507219823649, 80002189819472960546544159263296, 3758399976002037839547068265551281, 176564796682276305498165664321646929, 8294787044090984320574239154851854400, 389678426275593986761491074613715509889, 18306591247908826393469506267689777110401, 860020110225439246506305303506805808678976, 40402638589347735759402879758552183230801489, 1898063993589118141445429043348445806038991025, 89168605060099204912175762157618400700601776704, ...
13	4	1, 36, 35721, 34999056, 896703025, 34291262041, 878568782400, 860801272542225, ...
14	4	1, 441, 14161, 4239481, 135978921, 40707501121, 1305669590281, 390873421529361, 12537039269904241, 3753166552817428201, ...
15	4	1, 3025, 5997601, 165148201, ...
16	4	1, 16, 400, 4225, 101761, ...
18	4	1, 100, 1936, 116281, 2235025, 134189056, 2579217796, 154854055225, 2976415102441, 178701445541476, 3434780449000000, ...
22	4	1, 729, 284089, 3900625, 15175959521, 590725976569, 8110813506601, 3156387347610225, 1228333148092290241, 16865317394711073289, 6563271907899976822281, 2554149271482890096235025, 35069100108493095964960369, ...
28	4	1, 81, 3136, 30625, ...
30	4	1, 203401, 1819801, 164024190001, 1467492382801, 132269434866199801, 1183388792474889001, 106662336814809228952801, 954287089027867949018401, 86012721732003522411131649001, 769539017165067381031862931001, 69360830830024442142566574789968401, 620557802518990379109828463337266801, 55932712702907357470917967521368968071001, 500419053066149340677758825111066761145801, ...
32	4	1, 1089, 9025, 4190209, 34680321, 16098788161, 133241790529, 61851539930625, 511914924538369, 237633600314679361, 1966777006834629441, 912988230557458180609, 7556356748343721780225, 3507700544168154015226689, 29031520660359572245001281, 13476584577705817169042764801, 111539094820744728221573147649, 51777034439845205395308287145025, 428533173269780585467711788272449, 198927352841300701422957270168427521, 1646424340163402188622220468969607681, 764278837839242855021796436678811396929, 6325561886374617938905985574069444444225, 2936359096051018207693040486762723218579969, ...
40	4	1, 576, 123201, ...
44	4	1, 256, 1521, 136161, 802816, 71757841, 423083761, 37816247296, 222964340481, ...
50	4	1, 5776, 30276, 55487601, 290736601, 532791965476, 2791652838976, 5115868397039401, 26805450269137401, 49122567815580389376, 257385930692604511876, 471674891049334501775401, 2471419679704938253922401, 4529022254733142070467037476, 23730571507140886421558408976, 43487671218272739111289992095601, 227860945140147111714865589091601, ...
64	4	1, 64, 625, 48400, 450241, ...
66	4	1, 1223236, 5107600, 1629005505625, 6801867425521, 2169369437921667136, 9058142076710164516, 2888979651650786027844601, ...
68	4	1, 400, 41616, 4289041, 17514225, ...
96	4	1, 14400, 46656, 132733441, 429940225, ...
128	4	1, 148225, 408321, 9563079681, 26342913025, 616952522883841, 1699486690978561, 39802075051765530625, 109640684355448463361, 2567791069272648920349441, 7073359108807915474785025, 165658473003253597395658798081, 456330689435993174584833131521, 10687290724764111513110882779540225, 29439718091200304556358009172652801, 689479873651773417153581894243599769601, 1899273972479365758712887429179690164225, ...
132	4	1, 784, 262144, 10597261249, 28731945025, ...
140	4	1, 1002001, 2637376, 1023640086001, ...
156	4	1, 18496, 288456256, ...

У неким случајевима, као када је с=10 и т=4, не постоје други бројеви у оба сета осим 1.

Проблем налажења бројева који припадају трима полигоналним сетовима је тежи. Компјутерско претраживање за пентагоналне квадратне троугаоне бројеве је избацило само тривијалну вредност 1, путем доказа да не постоје други бројеви који су се појавили у резултатима претраживања.^[3]

Број 1225 је хекатоникоситетрагоналан (с=124), хексакотагоналан (с=60), икосиенегоналан (с=29), хексагоналан, квадратни и троугаони.

Види још

• Полихедрални број
• Теорема фермат полигоналног броја

Референце

1. „Архивирана копија” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 15. 06. 2011. г. Приступљено 15. 01. 2016. 
2. „Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 29. 05. 2013. г. Приступљено 15. 01. 2016. 
3. Weisstein, Eric W. „Pentagonal Square Triangular Number”. MathWorld. 

Литература

• The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, David Wells (Penguin Books, 1997) [[[Međunarodni standardni broj knjige|ISBN]] 978-0-14-026149-3.].
• Polygonal numbers at PlanetMath Архивирано на сајту Wayback Machine (20. фебруар 2016)
• F. Tapson (1999). The Oxford Mathematics Study Dictionary (2nd изд.). Oxford University Press. стр. 88–89. ISBN 978-0-19-914567-6. 
• Weisstein, Eric W. „Polygonal Numbers”. MathWorld. 

Спољашње везе

• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Polygonal number”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Polygonal Numbers: Every s-polygonal number between 1 and 1000 clickable for 2<=s<=337 Архивирано на сајту Wayback Machine (29. април 2012)
• Polygonal Numbers on the Ulam Spiral grid на сајту YouTube
• Polygonal Number Counting Function: http://www.mathisfunforum.com/viewtopic.php?id=17853