Мјерљиви простор

У математици, мјерљиви простор или Борелов простор ^[1] је основни објект у теорији мјера. Састоји се од скупа и σ-алгебре на овом скупу и даје информације о скуповима који ће се мјерити.

Дефиниција

Размотримо неиспразни скуп ${\displaystyle X}$ и σ-алгебру ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ на ${\displaystyle X}$. Тада се торка ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ назива мјерљивим простором.^[2]

Имајте на уму да за разлику од простора за мјерење, није потребна никаква мјера за мјерљиви простор.

Примјер

Погледајте скуп

${\displaystyle X=\{1,2,3\}.}$

Једна могућа σ-алгебра би била

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{1}=\{X,\emptyset \}.}$

Тада је ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{1})}$ мјерљиви простор. Друга могућа σ-алгебра била био партитивни скуп на ${\displaystyle X}$:

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}={\mathcal {P}}(X).}$

Са овим, други мјерљиви простор на скупу ${\displaystyle X}$ је дат са ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}}_{2})}$.

Обични мјерљиви простори

Ако је ${\displaystyle X}$ коначан или пребројив бесконачан, σ-алгебра је већину времена партитивни скуп на ${\displaystyle X}$, тако да је ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {P}}(X)}$. То доводи до мјерног простора ${\displaystyle (X,{\mathcal {P}}(X))}$.

Ако је ${\displaystyle X}$ тополошки простор, σ-алгебра је најчешће Борелова σ-алгебра ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, тако да је ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}(X)}$. То доводи до мјерљивог простора ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X))}$ који је заједнички за све тополошке просторе као што су реални бројеви ${\displaystyle \mathbb {R} }$.

Двосмисленост са Бореловим просторима

Термин Борелов простор се користи за различите типове мјерљивих простора. Може се односити на

• било који мјерљиви простор, тако да је синоним за мјерљиви простор као што је горе дефинисано ^[1]
• мјерљиви простор који је Борел изоморфан мјерљивом подскупу реалних бројева (из Борелове σ-алгебре)^[3]

Референце

1. Sazonov, V.V. (2001) [1994], „Measurable space”, Ур.: Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. стр. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
3. Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling. 77. Switzerland: Springer. стр. 15. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7.