Квадратни корен из 2

Квадратни корен из 2 једнак је дужини хипотенузе једнакокраког троугла са крацима дужине 1

Квадратни корен из 2 (математичка ознака је √2 или 2^1⁄₂) је позитиван алгебарски број који помножен са самим собом даје број 2. Технички гледано, постоје два броја која помножена самим собом дају резултат 2. Међутим, позитиван број који испуњава овај услов назива се главна вредност корена да би се разликовала од негативног броја са истим својствима.

Геометријски, квадратни корен из 2 је дужина дијагонале јединичног квадрата што следи из Питагорине теореме. Претпоставља се да је то први познати ирационални број.

Рационална апроксимација квадратног корена из два, 665,857/470,832, изведена је из четвртог корака вавилонским алгоритмом почевши од a₀ = 1, премашује праву вредност за 6988160000000000000♠1,6×10⁻¹²: њен квадрат је 7000200000000000450♠2,0000000000045…

Често коришћена рационална апроксимација је 99/70 (≈ 1.41429). Упркос томе што је именилац само 70, од праве вредности одступа за мање од 1/10,000 (приближно 6995720000000000000♠+0,72×10⁻⁴). Пошто је у питању конвергентан верижни разломак квадратног корена из два, свака боља рационална апроксимација има именилац већи од 169, будући да је 239/169 конвергентан разломак са приближном грешком од 3004880000000000000♠−0,12×10⁻⁴.

Нумеричка вредност за квадратни корен из два, скраћена на 65 децимала, је:

1.41421356237309504880168872420969807856967187537694807317667973799… (секвенца A002193 у OEIS).

Квадратни корен из 2 и апроксимације конвергентним верижним разломцима

Запис квадратног корена из 2 у различитим системима и верижним разломком.
Бинарни	1.01101010000010011110…
Декадни	1.4142135623730950488…
Хексадецимални	1.6A09E667F3BCC908B2F…
Верижни разломак	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}$

Историја

Вавилонска глинена плочица (YBC 7289) са напоменама. Поред тога што приказује запис квадратног корена из 2 у шездесетичном бројевном систему (1 24 51 10), плочица даје и пример где је једна страница квадрата 30, а дијагонала је онда 42 25 35. У шездесетичном бројевном систему, цифра 30 може означавати 0 30 = 1/2, и у том случају 0 42 25 35 има приближну вредност 0.7071065.

Вавилонска глинена плочица (YBC 7289) (око 1800-1600. п. н. е.) даје апроксимацију √2 са четири цифре шездесетичног система, 1 24 51 10, што одговара тачности око шест цифара у декадном систему^[1] и то је најпрецизнија могућа репрезентација √2 са три децимале у шездесетичном бројевном систему:

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {30547}{21600}}=1.41421{\overline {296}}.}$

Још једна приближна апроксимација дата је у древним индијским математичким текстовима у Сулба Сутри (енгл. Sulba Sutras) (око 800-200. п. н. е.) на следећи начин: Увећање дужине (странице) за трећину и ту трећину за своју четвртину умањену за тридесет-четврти део те четвртине.^[2] Дакле,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.}$

Ова апроксимација је седма у низу све прецизнијих апроксимација базираних на низу Пелових бројева, која се може извести из експанзије верижног разломка од √2. Упркос томе што ова апроксимација има мањи именилац, незнатно је мање прецизности од вавилонске.

Питагорејци су открили да дијагонала квадрата није самерљива са страницом, што у савременом језику има значење да је квадратни корен из два ирационалан број. Не зна се са сигурношћу када је ово откривено и под каквим околностима, али се у вези са овим открићем често помиње Хипас из Метапонта. Један период, Питaгорејци су ово откриће третирали као службену тајну, и према легенди, Хипас је убијен због откривања те тајне.^[3][4][5] Квадратни корен из два се понекад назива "Питагорин број" или "Питагорина константа"; на пример, код Конвеја и Гаја у њиховој књизи Књига бројева.^[6]

Компјутерски алгоритми

Постоји велики број алгоритама за приближно рачунање √2, који за апроксимацију користе само однос целих или децималних бројева. Најчешћи такав алгоритам који се користи као основа у многим рачунарима и калкулаторима је вавилонски алгоритам (вавилонска метода)^[7] што је само једна од многих метода за рачунање квадратних корена. Алгоритам иде овако:

Најпре, одаберемо произвољно a₀ > 0; ова вредност утиче само на број итерација потребних да би се постигла одређена тачност. Затим, користимо a₀, као почетну вредност у следећем рекурзивном израчунавању:

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+{\frac {2}{a_{n}}}}{2}}={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}$

Што више итерација кроз алгоритам (тј. што више израчунавања и што је веће "n"), добићемо бољу апроксимацију квадратног корена из 2. Свака итерација отприлике удвостручује број тачних цифара. Почевши са a₀ = 1, добијају се следеће апроксимације:

• 3/2 = 1.5
• 17/12 = 1.416...
• 577/408 = 1.414215...
• 665857/470832 = 1.4142135623746...

Јапански математичар Јасумаса Канада је заједно са својим тимом 1997. године израчунао 137.438.953,444 децимала за √2.

Референце

1. Fowler & Robson. стр. 368.
   Photograph, illustration, and description of the root(2) tablet from the Yale Babylonian Collection Архивирано на сајту Wayback Machine (13. август 2012)
   High resolution photographs, descriptions, and analysis of the root(2) tablet (YBC 7289) from the Yale Babylonian Collection
2. Henderson, David. „Square Roots in the Sulbasutra”. http://www.math.cornell.edu/. Приступљено 4. 2. 2017.  Спољашња веза у |work= (помоћ)
3. Stephanie J. Morris, "The Pythagorean Theorem", Dept. of Math. Ed., University of Georgia.
4. Brian Clegg, "The Dangerous Ratio ...", Nrich.org, November 2004.
5. von Fritz, Kurt (1945). „The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum”. Annals of Mathematics. 46 (2): 242—264. JSTOR 1969021. doi:10.2307/1969021. 
6. Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), The Book of Numbers, Copernicus, стр. 25 
7. Иако се термин "вавилонска метода" често користи у модерној употреби, не постоје директни докази који показују како су Вавилоњани рачунали апроксимацију √2 која се види на плочици YBC 7289. Фоулер и Робсон понудили су детаљније претпоставке .
   Fowler and Robson, p. 376. Flannery, p. 32, 158.

Литература

• Apostol, Tom M. (2000), „Irrationality of the square root of two – A geometric proof”, American Mathematical Monthly, 107 (9): 841—842, JSTOR 2695741, doi:10.2307/2695741 .
• Analytica priora|authorlink=Aristotle, eBooks@Adelaide, 2007 
• Bishop, Errett (1985), Schizophrenia in contemporary mathematics. Errett Bishop: reflections on him and his research (San Diego, Calif., 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
• Flannery, David (2005), The Square Root of Two, Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X .
• Fowler, David; Robson, Eleanor (1998), „Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context”, Historia Mathematica, 25 (4): 366—378, doi:10.1006/hmat.1998.2209 .
• Good, I. J.; Gover, T. N. (1967), „The generalized serial test and the binary expansion of √2”, Journal of the Royal Statistical Society, Series A, 130 (1): 102—107, JSTOR 2344040, doi:10.2307/2344040 .
• Henderson, David W. (2000), „Square roots in the Śulba Sūtras”, Ур.: Gorini, Catherine A., Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, стр. 39—45, ISBN 978-0-88385-164-7 .

Спољашње везе

• Gourdon, X.; Sebah, P. (2001), „Pythagoras' Constant: √2”, Numbers, Constants and Computation, Архивирано из оригинала 08. 12. 2008. г., Приступљено 02. 02. 2017 .
• Weisstein, Eric W. „Pythagoras's Constant”. MathWorld. 
• The Square Root of Two to 5 million digits by Jerry Bonnell and Robert Nemiroff. May, 1994.
• Square root of 2 is irrational, a collection of proofs
• Grime, James; Bowley, Roger. „The Square Root √2 of Two”. Numberphile. ^{[мртва веза]}Brady Haran. Архивирано из оригинала 22. 05. 2017. г. Приступљено 02. 02. 2017.