Квадрат

За другу употребу, погледајте страницу Квадрат (алгебра).

Квадрат

Полупречник описаног и уписаног круга код квадрата

Квадрат је математички појам присутан у геометрији и алгебри. У геометрији је то геометријска фигура у равни састављена од једнаке четири странице и угла. Он је правилан четвороугао, паралелограм.^[1] Темена се означавају великим словима A, B, C, D, страница малим словом а, дијагонала малим словом d. То је једини правилан многоугао чији су унутрашњи угао, централни угао и спољашњи угао једнаки (90°), а чије су дијагонале једнаке по дужини.^[2]

Особине квадрата

Особине квадрата су:^[3][4]

• све странице су једнаке
• сви углови су прави
• дијагонале су једнаке, полове се и секу под правим углом
• дужина дијагонале је ${\displaystyle d=a{\sqrt {2}}}$
• обим квадрата је ${\displaystyle O=4\cdot a}$
• површина квадрата је ${\displaystyle P=a^{2}={\frac {d^{2}}{2}}}$
• полупречник уписаног круга је ${\displaystyle r={\frac {a}{2}}}$, а полупречник описаног је ${\displaystyle R={\frac {\ {d}}{2}}}$

Обим и површина

Површина квадрата је производ дужине његових страница.

Обим квадрата чије четири странице имају дужину ${\displaystyle \ell }$ је

${\displaystyle P=4\ell }$

а површина A је

${\displaystyle A=\ell ^{2}.}$^[2]

Пошто је четири на квадрат једнако шеснаест, квадрат четири са четири има површину једнаку његовом периметру. Једини други четвороугао са таквим својством је правоугаоник три са шест.

У класично доба, други степен је описан у смислу површине квадрата, као у горњој формули. То је довело до употребе термина квадрат да значи подизање на други степен.

Површина се такође може израчунати коришћењем дијагонале 'd према

${\displaystyle A={\frac {d^{2}}{2}}.}$

У смислу полупречника круга R, површина квадрата је

${\displaystyle A=2R^{2};}$

пошто је површина круга ${\displaystyle \pi R^{2},}$ квадрат испуњава ${\displaystyle 2/\pi \approx 0.6366}$ његовог описаног круга.^[5]

У смислу радијуса r, површина квадрата је

${\displaystyle A=4r^{2};}$

стога је површина уписаног круга ${\displaystyle \pi /4\approx 0.7854}$ површине квадрата.

Пошто је то правилан многоугао, квадрат је четвороугао најмањег периметра који обухвата дату област. Двоструко, квадрат је четвороугао који садржи највећу површину унутар датог периметра.^[6] Заиста, ако су A и P површина и обим затворени четвороуглом, онда важи следећа изопериметријска неједнакост:^[7]

${\displaystyle 16A\leq P^{2}}$

са једнакошћу ако и само ако је четвороугао квадрат.

Друге чињенице

• Дијагонале квадрата су ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ (око 1,414) пута дужине странице квадрата. Ова вредност, позната као квадратни корен од 2 или Питагорина константа,^[2] била је први број за који је доказано да је ирационалан.
• Квадрат се такође може дефинисати као паралелограм са једнаким дијагоналама које деле углове.
• Ако је фигура правоугаоник (прави углови) и ромб (једнаке дужине ивица), онда је она квадрат.
• Квадрат има већу површину од било ког другог четвороугла са истим обимом.^[8]
• Квадратна плочица је једна од три правилне плочице на равни (остале су једнакостранични троугао и правилан шестоугао).
• Квадрат је у две породице политопа у две димензије: хиперкоцка и укрштени политоп. Шлафлијев симбол за квадрат је {4}.
• Квадрат је веома симетричан објекат. Постоје четири линије рефлексијске симетрије и има ротациону симетрију реда 4 (кроз 90°, 180° и 270°). Његова група симетрије је диедрална група  D₄.
• Квадрат се може уписати у било који правилан многоугао. Једини други полигон са овим својством је једнакостранични троугао.
• Ако уписани круг квадрата ABCD има додирне тачке E на AB, F на BC, G на CD, и H на DA, онда за било коју тачку P на уписаној кружници важи,^[9]

${\displaystyle 2(PH^{2}-PE^{2})=PD^{2}-PB^{2}.}$

• Ако је ${\displaystyle d_{i}}$ растојање од произвољне тачке у равни до i-тог темена квадрата и ${\displaystyle R}$ је полупречник круга квадрата, онда је^[10]

${\displaystyle {\frac {d_{1}^{4}+d_{2}^{4}+d_{3}^{4}+d_{4}^{4}}{4}}+3R^{4}=\left({\frac {d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+d_{3}^{2}+d_{4}^{2}}{4}}+R^{2}\right)^{2}.}$

• Ако су ${\displaystyle L}$ и ${\displaystyle d_{i}}$ растојања од произвољне тачке у равни до средишта квадрата и његова четири темена респективно, онда је^[11]

${\displaystyle d_{1}^{2}+d_{3}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}=2(R^{2}+L^{2})}$

и

${\displaystyle d_{1}^{2}d_{3}^{2}+d_{2}^{2}d_{4}^{2}=2(R^{4}+L^{4}),}$

где је ${\displaystyle R}$ полупречник круга квадрата.

Координате и једначине

${\displaystyle |x|+|y|=2}$ приказано на картезијанским координатама.

Координате за темена квадрата са вертикалним и хоризонталним страницама, са центром у координатном почетку и са дужином странице 2 су (±1, ±1), док унутрашњост овог квадрата чине све тачке (x_i, y_i) са −1 < x_i < 1 и −1 < y_i < 1. Једначина

${\displaystyle \max(x^{2},y^{2})=1}$

одређује границу овог квадрата. Ова једначина значи „x² или y², које год је веће, једнако је 1.” Полупречник круга овог квадрата (полупречник круга повучен кроз врхове квадрата) је половина дијагонале квадрата и једнак је ${\displaystyle {\sqrt {2}}.}$ Тада описани круг има једначину

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=2.}$

Алтернативно, једначина

${\displaystyle \left|x-a\right|+\left|y-b\right|=r.}$

такође се може користити за описивање границе квадрата са координатама центра (a, b), и хоризонталним или вертикалним полупречником r. Квадрат је стога облик тополошке лопте према L₁ метрици удаљености.

Види још

• Правоугаоник
• Ромб

Референце

1. Weisstein, Eric W. „Square”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 12. 12. 2017. 
2. Weisstein, Eric W. „Square”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-09-02. 
3. Zalman Usiskin and Jennifer Griffin (2008). The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition. Information Age Publishing. стр. 59. ISBN 978-1-59311-695-8. 
4. „Problem Set 1.3”. jwilson.coe.uga.edu. Приступљено 12. 12. 2017. 
5. Megiddo, N. (1983). „Linear-time algorithms for linear programming in R³ and related problems”. SIAM Journal on Computing. 12 (4): 759—776. S2CID 14467740. doi:10.1137/0212052. 
6. Chakerian, G.D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
7. Blåsjö, Viktor (2005). „The Evolution of the Isoperimetric Problem”. Amer. Math. Monthly. 112 (6): 526—566. JSTOR 30037526. doi:10.2307/30037526. 
8. 1999, Martin Lundsgaard Hansen, thats IT (c). „Vagn Lundsgaard Hansen”. www2.mat.dtu.dk. Приступљено 2017-12-12. 
9. „Geometry classes, Problem 331. Square, Point on the Inscribed Circle, Tangency Points. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS.”. gogeometry.com. Приступљено 2017-12-12. 
10. Park, Poo-Sung. "Regular polytope distances", Forum Geometricorum 16, 2016, 227-232. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201627.pdf Архивирано на сајту Wayback Machine (6. новембар 2020)
11. Meskhishvili, Mamuka (2020). „Cyclic Averages of Regular Polygons and Platonic Solids”. Communications in Mathematics and Applications. 11: 335—355. arXiv:2010.12340 . 

Литература

• Martin, George Edward (1982), Transformation geometry, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, Theorem 12.1, page 120, ISBN 0-387-90636-3, MR 718119, doi:10.1007/978-1-4612-5680-9 
• „Quadrilaterals - Square, Rectangle, Rhombus, Trapezoid, Parallelogram”. Mathsisfun.com. Приступљено 2020-09-02. 
• „Sum of Angles in a Polygon”. Cuemath. Приступљено 22. 6. 2022. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Keady, G.; Scales, P.; Németh, S. Z. (2004). „Watt Linkages and Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 88 (513): 475—492. S2CID 125102050. doi:10.1017/S0025557200176107. 
• Jobbings, A. K. (1997). „Quadric Quadrilaterals”. The Mathematical Gazette. 81 (491): 220—224. JSTOR 3619199. doi:10.2307/3619199. 
• Beauregard, R. A. (2009). „Diametric Quadrilaterals with Two Equal Sides”. College Mathematics Journal. 40 (1): 17—21. S2CID 122206817. doi:10.1080/07468342.2009.11922331. 
• Hartshorne, R. (2005). Geometry: Euclid and Beyond. Springer. стр. 429—430. ISBN 978-1-4419-3145-0. 
• Josefsson, Martin (2013), „Five Proofs of an Area Characterization of Rectangles” (PDF), Forum Geometricorum, 13: 17—21, Архивирано из оригинала (PDF) 24. 03. 2024. г., Приступљено 17. 07. 2022 
• Josefsson, Martin (2012), „Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals” (PDF), Forum Geometricorum, 12: 13—25, Архивирано из оригинала (PDF) 05. 12. 2020. г., Приступљено 17. 07. 2022 
• Leonard Mihai Giugiuc; Dao Thanh Oai; Kadir Altintas (2018). „An inequality related to the lengths and area of a convex quadrilateral” (PDF). International Journal of Geometry. 7: 81—86. 
• Josefsson, Martin (2014). „Properties of equidiagonal quadrilaterals”. Forum Geometricorum. 14: 129—144. Архивирано из оригинала 05. 06. 2024. г. Приступљено 17. 07. 2022. 
• „Inequalities proposed in Crux Mathematicorum (from vol. 1, no. 1 to vol. 4, no. 2 known as "Eureka")” (PDF). Imomath.com. Приступљено 1. 3. 2022. 
• Alsina, Claudi; Nelsen, Roger (2010). Charming Proofs : A Journey Into Elegant Mathematics. Mathematical Association of America. стр. 114, 119, 120, 261. ISBN 978-0-88385-348-1. 
• John Boris Miller. „Centroid of a quadrilateral” (PDF). Austmd.org.au. Приступљено 1. 3. 2022. <
• Chen, Evan (2016). Euclidean Geometry in Mathematical Olympiads. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 9780883858394. 
• David, Fraivert (2019), „Pascal-points quadrilaterals inscribed in a cyclic quadrilateral”, The Mathematical Gazette, 103 (557), doi:10.1017/mag.2019.54 
• David, Fraivert (2019), „A Set of Rectangles Inscribed in an Orthodiagonal Quadrilateral and Defined by Pascal-Points Circles”, Journal for Geometry and Graphics, 23 
• David, Fraivert (2017), „Properties of a Pascal points circle in a quadrilateral with perpendicular diagonals” (PDF), Forum Geometricorum, 17: 509—526, Архивирано из оригинала (PDF) 05. 12. 2020. г., Приступљено 17. 07. 2022 
• Josefsson, Martin (2013). „Characterizations of Trapezoids” (PDF). Forum Geometricorum. 13: 23—35. ^{[мртва веза]}
• Barnett, M. P.; Capitani, J. F. (2006). „Modular chemical geometry and symbolic calculation”. International Journal of Quantum Chemistry. 106 (1): 215—227. Bibcode:2006IJQC..106..215B. doi:10.1002/qua.20807. 
• Hamilton, William Rowan (1850). „On Some Results Obtained by the Quaternion Analysis Respecting the Inscription of "Gauche" Polygons in Surfaces of the Second Order” (PDF). Proceedings of the Royal Irish Academy. 4: 380—387. 
• Borisov, Alexander; Dickinson, Mark; Hastings, Stuart (март 2010). „A Congruence Problem for Polyhedra”. American Mathematical Monthly. 117 (3): 232—249. S2CID 8166476. arXiv:0811.4197 . doi:10.4169/000298910X480081. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Creech, Alexa. „A Congruence Problem” (PDF). Архивирано из оригинала (PDF) 11. 11. 2013. г. 
• Franco P. Preparata; Michael Ian Shamos (1985). Computational Geometry – An Introduction. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96131-3. 1st edition: ; 2nd printing, corrected and expanded, 1988. 
• Whitworth, William Allen (1866). Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. Deighton, Bell, and Co. стр. 199. 
• Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (3rd изд.). New York: Dover. 

Спољашње везе

• Animated course (Construction, Circumference, Area)
• Weisstein, Eric W. „Square”. MathWorld. 
• Definition and properties of a square With interactive applet
• Animated applet illustrating the area of a square