Банахова теорема о непокретној тачки

Банахова теорема о непокретној тачки (такође позната као теорема о контракционом пресликавању или принцип контракционог пресликавања) је важан алат у теорији метричких простора; она гарантује постојање и јединственост непокретних тачака одређених пресликавања из неког метричког простора у самог себе, и даје конструктивни метод за проналажење тих непокретних тачака. Теорема је добила име по Стефану Банаху, (1892—1945), који ју је и изрекао 1922. године

Теорема

Нека је (X, d) непразан комплетан метрички простор. Нека је T : X → X контракција на X, то јест: постоји ненегативан реалан број q < 1, такав да

${\displaystyle d(Tx,Ty)\leq q\cdot d(x,y)}$

за свако x, y из X. Тада пресликавање T има једну и само једну непокретну тачку x^* у X (ово значи да Tx^* = x^*). Штавише, та непокретна тачка може да се нађе на следећи начин: пође се од произвољног елемента x₀ из X и дефинише се итеративни низ, као x_n = Tx_n-1 за n = 1, 2, 3, ... овај низ конвергира, и лимес му је управо x^*. Следећа неједнакост описује брзину конвергенције:

${\displaystyle d(x^{*},x_{n})\leq {\frac {q^{n}}{1-q}}d(x_{1},x_{0})}$.

Еквивалентно,

${\displaystyle d(x^{*},x_{n+1})\leq {\frac {q}{1-q}}d(x_{n+1},x_{n})}$

и

${\displaystyle d(x^{*},x_{n+1})\leq qd(x_{n},x^{*})}$.

Најмања вредност q се понекад назива Липшицовом константом.

Ваља уочити да захтев d(Tx, Ty) < d(x, y) за све различите x и y у општем случају није довољан да осигура постојање непокретне тачке, као што се види из пресликавања T : [1,∞) → [1,∞) са T(x) = x + 1/x, које нема непокретну тачку. Међутим, ако је простор X компактан, онда и ова слабија претпоставка имплицира све исказе теореме.

Када се теорема користи у пракси, обично је најтежи део да се дефинише X на такав начин да T заиста слика из X у X, то јест да је Tx увек елемент из X.

Доказ

Узмимо било које ${\displaystyle x_{0}\in (X,d)}$. За свако ${\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \}}$, дефинишемо ${\displaystyle x_{n}=Tx_{n-1}\,\!}$. Тврдимо да за свако ${\displaystyle n\in \{1,2,\dots \}}$, важи следеће:

${\displaystyle d(x_{n+1},x_{n})\leq q^{n}d(x_{1},x_{0})}$.

Да бисмо ово показали, користићемо индукцију. Горњи исказ је тачан за случај ${\displaystyle n=1\,\!}$, за

${\displaystyle d(x_{1+1},x_{1})=d(x_{2},x_{1})=d(Tx_{1},Tx_{0})\leq qd(x_{1},x_{0})}$.

Претпоставимо да горње тврђење важи за неко ${\displaystyle k\in \{1,2,\ldots \}}$. Тада имамо

${\displaystyle d(x_{(k+1)+1},x_{k+1})\,\!}$	${\displaystyle =d(x_{k+2},x_{k+1})\,\!}$
	${\displaystyle =d(Tx_{k+1},Tx_{k})\,\!}$
	${\displaystyle \leq qd(x_{k+1},x_{k})}$
	${\displaystyle \leq q\cdot q^{k}d(x_{1},x_{0})}$
	${\displaystyle =q^{k+1}d(x_{1},x_{0})\,\!}$.

По индукцији, горње тврђење важи за свако ${\displaystyle n\in \{1,2,\ldots \}}$.

Нека је ${\displaystyle \epsilon >0\,\!}$. Како је ${\displaystyle 0\leq q<1}$, можемо да нађемо велико ${\displaystyle N\in \{1,2,\ldots \}}$ тако да

${\displaystyle q^{N}<{\frac {\epsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}}$.

Користећи горње тврђење, за свако ${\displaystyle m\,\!}$, ${\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}}$ где је ${\displaystyle m>n\geq N}$, имамо

${\displaystyle d\left(x_{m},x_{n}\right)}$	${\displaystyle \leq d(x_{m},x_{m-1})+d(x_{m-1},x_{m-2})+\cdots +d(x_{n+1},x_{n})}$
	${\displaystyle \leq q^{m-1}d(x_{1},x_{0})+q^{m-2}d(x_{1},x_{0})+\cdots +q^{n}d(x_{1},x_{0})}$
	${\displaystyle =d(x_{1},x_{0})q^{n}\cdot \sum _{k=0}^{m-n-1}q^{k}}$
	${\displaystyle <d(x_{1},x_{0})q^{n}\cdot \sum _{k=0}^{\infty }q^{k}}$
	${\displaystyle =d(x_{1},x_{0})q^{n}{\frac {1}{1-q}}}$
	${\displaystyle =q^{n}{\frac {d(x_{1},x_{0})}{1-q}}}$
	${\displaystyle <{\frac {\epsilon (1-q)}{d(x_{1},x_{0})}}\cdot {\frac {d(x_{1},x_{0})}{1-q}}}$
	${\displaystyle =\epsilon \,\!}$.

Неједнакост у првој линији следи из узастопне примене неједнакости троугла; ред у четвртој линији је геометријски ред са ${\displaystyle 0\leq q<1}$ и стога конвергира. Горе се види да је ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\geq 0}}$ Кошијев низ у ${\displaystyle (X,d)\,\!}$ и стога конвергира по комплетности. Значи, нека је ${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$. Уводимо два тврђења: (1) ${\displaystyle x^{*}\,\!}$ је непокретна тачка за ${\displaystyle T\,\!}$. То јест, ${\displaystyle Tx^{*}=x^{*}\,\!}$; (2) ${\displaystyle x^{*}\,\!}$ је једина непокретна тачка за ${\displaystyle T\,\!}$ у ${\displaystyle (X,d)\,\!}$.

Да би се видело (1), уочавамо да за свако ${\displaystyle n\in \{0,1,\ldots \}}$,

${\displaystyle 0\leq d(x_{n+1},Tx^{*})=d(Tx_{n},Tx^{*})\leq qd(x_{n},x^{*})}$.

Како је ${\displaystyle qd(x_{n},x^{*})\to 0}$ за ${\displaystyle n\to \infty }$, теорема о два полицајца показује да ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }d(x_{n+1},Tx^{*})=0}$. Ово показује да ${\displaystyle x_{n}\to Tx^{*}}$ када ${\displaystyle n\to \infty }$. Међутим ${\displaystyle x_{n}\to x^{*}}$ када ${\displaystyle n\to \infty }$, и лимеси су јединствени; стога мора да важи ${\displaystyle x^{*}=Tx^{*}\,\!}$.

Да би се показало (2), претпоставимо да ${\displaystyle y\,\!}$ такође задовољава једнакост ${\displaystyle Ty=y\,\!}$. Тада

${\displaystyle 0\leq d(x^{*},y)=d(Tx^{*},Ty)\leq qd(x^{*},y)}$.

Ако се сетимо да ${\displaystyle 0\leq q<1}$, горњи исказ имплицира да ${\displaystyle 0\leq (1-q)d(x^{*},y)\leq 0}$, што показује да ${\displaystyle d(x^{*},y)=0\,\!}$, одакле по позитивној дефинитности следи ${\displaystyle x^{*}=y\,\!}$ и доказ је комплетан.

Примене

Стандардна примена је доказ Пикард-Линделефове теореме о постојању и јединствености решења одређених ординарних диференцијалних једначина. Тражено решење диференцијалне једначине се изрази као непокретна тачка погодног интегралског оператора који трансформише непокретне функције у непокретне функције. Банахова теорема о непокретној тачки се затим користи да покаже да овај оператор има јединствену непокретну тачку.

Обратна тврђења

Постоји неколико обратних тврђења за Банахов принцип контракције. Следи један који је дао Чеслав Бесага (Czesław Bessaga):

Нека је ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ пресликавање апстрактног скупа, такво да свака итерирана функција f ⁿ има јединствену непокретну тачку. Нека је q реалан број, 0 < q < 1. Онда постоји комплетан метрички простор на X, такав да је f контрактивна, и q је контракциона константа.

Литература

• Vasile I. Istratescu (1981). Fixed Point Theory, An Introduction. ISBN 978-90-277-1224-0. , D.Reidel, the Netherlands. See chapter 7.
• Andrzej Granas and James Dugundji (2003). Fixed Point Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-00173-9. 
• Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory. John Wiley, New York. ISBN 978-0-471-41825-2. 
• William A. Kirk and Brailey Sims (2001). Handbook of Metric Fixed Point Theory. London: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-7073-4. 

Овај чланак је делом заснован на чланку који се може наћи на страници Planet Math и представља отворен садржај.