Prostor verovatnoće

U teoriji verovatnoće, prostor verovatnoće ili triplet verovatnoće ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ je matematička konstrukcija kojom se modeluju procesi stvarnog sveta (ili „eksperimenti”) koji se sastoje od stanja koja se slučajno javljaju. Prostor verovatnoće je konstruisan sa određenom vrstom situacije ili eksperimenta na umu. Smatra se da svaki put kada se pojavi takva vrsta, skup mogućih ishoda je isti i da su verovatnoće iste.

Prostor verovatnoće sastoji se od tri dela:^[1][2]

1. Prostor uzoraka, ${\displaystyle \Omega }$, koji je skup svih mogućih ishoda.
2. Skup događaja ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, gde je svaki događaj skup koji sadrži nula ili više ishoda.
3. Dodela verovatnoća događajima; to jest, funkcija ${\displaystyle P}$ od događaja do verovatnoće.

Ishod je rezultat pojedinačnog izvršenja modela. Budući da pojedinačni ishodi mogu biti od malo praktične koristi, primenjuju se složeniji događaji za karakterizaciju grupa ishoda. Kolekcija svih takvih događaja je σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Na kraju, postoji potreba da se precizira verovatnoća da se svaki događaj dogodi. To se vrši pomoću funkcije mere verovatnoće, ${\displaystyle P}$.

Nakon što se utvrdi prostor verovatnoće, pretpostavlja se da „priroda” odabira pojedinačan ishod, ${\displaystyle \omega }$, iz prostora uzorka ${\displaystyle \Omega }$. Za sve događaje u ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ koji sadrže odabrani ishod ${\displaystyle \omega }$ (treba imati u vidu da je svaki događaj podskup od ${\displaystyle \Omega }$) se kaže da su se „dogodili”. Selekcija koju vrši priroda odvija se na takav način da ako bi se eksperiment ponavljao beskonačno mnogo puta, relativne učestalosti pojavljivanja svakog od događaja bi se poklopile sa verovatnoćama koje je propisala funkcija ${\displaystyle P}$.

Ruski matematičar Andrej Kolmogorov je uveo pojam prostora verovatnoće, zajedno sa drugim aksiomima verovatnoće, tokom 1930-ih.^[3][4][5][6] Danas postoje alternativni pristupi za aksiomatizaciju teorije verovatnoće, npr. algebra slučajnih promenljivih.^[7]

Ovaj se članak bavi matematikom manipulisanja verovatnoćama. U članku „interpretacije verovatnoće” opisano je nekoliko alternativnih pogleda na to šta „verovatnoća” znači i kako to treba tumačiti. Pored toga, bilo je pokušaja da se konstruišu teorije za količine koje su notaciono slične verovatnoći, ali ne poštuju sva njena pravila; videti, na primer, slobodnu verovatnoću, rasplinutu logiku, teoriju mogućnosti, negativnu verovatnoću i kvantnu verovatnoću.^[8][9]

Definicija

Ukratko, prostor verovatnoće je prostor mere tako da je mera celog prostora jednaka jedinici.

Proširena definicija je sledeće: prostor verovatnoće je triplet ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ koji se sastoji od:

• prostor uzorka ${\displaystyle \Omega }$ - proizvoljni neprazni skup,^[10][11]
• σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq 2^{\Omega }}$ (koja se takođe naziva σ-polje) - skup podskupova od ${\displaystyle \Omega }$,^[12][13][14] koji se nazivaju događaji,^[15][16][17] tako da:
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sadrži prostor uzoraka: ${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$,
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je zatvoren pod komplementima: ako je ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$, onda je takođe ${\displaystyle (\Omega \setminus A)\in {\mathcal {F}}}$,
  • ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ je zatvoren pod prebrojivim unijama: ako je ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ za ${\displaystyle i=1,2,\dots }$, tada je isto tako ${\displaystyle \textstyle (\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$
    • Zaključak iz prethodna dva svojstva i De Morganovih zakona^[18][19][20] je da je ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ takođe zatvoren pod prebrojivim presecima: ako je ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}}$ za ${\displaystyle i=1,2,\dots }$, onda je takođe ${\displaystyle \textstyle (\bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i})\in {\mathcal {F}}}$

• mera verovatnoće ${\displaystyle P:{\mathcal {F}}\to [0,1]}$ — funkcija na ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ takva da:
  • P je prebrojivo aditivna^[21] (takođe zvana σ-aditivna): ako ${\displaystyle \{A_{i}\}_{i=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}}}$ je prebrojiva kolekcija uparenih nepresecajućih skupova,^[22][23] onda je ${\displaystyle \textstyle P(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i})=\sum _{i=1}^{\infty }P(A_{i}),}$
  • mera celokupnog prostora uzoraka je jednaka jedan: ${\displaystyle P(\Omega )=1}$.

Reference

1. Loève, Michel. Probability Theory, Vol 1. New York: D. Van Nostrand Company, 1955.
2. Stroock, D. W. (1999). Probability theory: an analytic view. Cambridge University Press.
3. Kolmogorov, Andrey (1950). Foundations of the theory of probability. New York, USA: Chelsea Publishing Company. 
4. Aldous, David. „What is the significance of the Kolmogorov axioms?”. David Aldous. Приступљено 19. 11. 2019. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
5. Cox, R. T. (1946). „Probability, Frequency and Reasonable Expectation”. American Journal of Physics. 14 (1): 1—10. Bibcode:1946AmJPh..14....1C. doi:10.1119/1.1990764. 
6. Cox, R. T. (1961). The Algebra of Probable Inference. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press. 
7. Hernandez, Hugo (2016). „Modelling the effect of fluctuation in nonlinear systems using variance algebra - Application to light scattering of ideal gases”. ForsChem Research Reports (на језику: енглески). 2016-1. doi:10.13140/rg.2.2.36501.52969. 
8. Deutsch, David (8. 8. 1999). „Quantum Theory of Probability and Decisions”. Proceedings of the Royal Society A. 455 (1988): 3129—3137. S2CID 5217034. arXiv:quant-ph/9906015 . doi:10.1098/rspa.1999.0443. Приступљено 5. 12. 2022. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
9. Greaves, Hilary (21. 12. 2006). „Probability in the Everett Interpretation”. Philosophy Compass. 2 (1): 109—128. doi:10.1111/j.1747-9991.2006.00054.x. Архивирано из оригинала 06. 12. 2022. г. Приступљено 6. 12. 2022. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
10. Weisstein, Eric W. „Empty Set”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11. 
11. Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd изд.). McGraw-Hill. стр. 300. ISBN 007054235X. 
12. „Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes”. Random. University of Alabama in Huntsville, Department of Mathematical Sciences. Приступљено 30. 3. 2016. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
13. Billingsley, Patrick (2012). Probability and Measure (Anniversary изд.). Wiley. ISBN 978-1-118-12237-2. 
14. Rudin, Walter (1987). Real & Complex Analysis. McGraw-Hill. ISBN 0-07-054234-1. 
15. Leon-Garcia, Alberto (2008). Probability, statistics and random processes for electrical engineering. Upper Saddle River, NJ: Pearson. ISBN 9780131471221. 
16. Pfeiffer, Paul E. (1978). Concepts of probability theory. Dover Publications. стр. 18. ISBN 978-0-486-63677-1. 
17. Foerster, Paul A. (2006). Algebra and trigonometry: Functions and applications, Teacher's edition (Classics изд.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. стр. 634. ISBN 0-13-165711-9. 
18. Copi, Irving M.; Cohen, Carl; McMahon, Kenneth. Introduction to Logic. doi:10.4324/9781315510897. 
19. Hurley, Patrick J. (2015), A Concise Introduction to Logic (12th изд.), Cengage Learning, ISBN 978-1-285-19654-1 
20. Moore, Brooke Noel (2012). Critical thinking. Richard Parker (10th изд.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-803828-0. OCLC 689858599. 
21. Bhaskara Rao, K. P. S.; Bhaskara Rao, M. (1983). Theory of charges: a study of finitely additive measures. London: Academic Press. стр. 35. ISBN 0-12-095780-9. OCLC 21196971. 
22. Halmos, P. R. (1960), Naive Set Theory, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, стр. 15, ISBN 9780387900926 .
23. Smith, Douglas; Eggen, Maurice; St. Andre, Richard (2010), A Transition to Advanced Mathematics, Cengage Learning, стр. 95, ISBN 978-0-495-56202-3 .

Literatura

• Pierre Simon de Laplace (1812). Analytical Theory of Probability. 
• Andrei Nikolajevich Kolmogorov (1950). Foundations of the Theory of Probability. 
• Harold Jeffreys (1939). The Theory of Probability. 
• Edward Nelson (1987) Radically Elementary Probability Theory
• Patrick Billingsley: Probability and Measure, John Wiley and Sons, New York, Toronto, London, 1979.
• Henk Tijms (2004). Understanding Probability. 
• David Williams (1991). Probability with martingales. 
• Gut, Allan (2005). Probability: A Graduate Course. Springer. ISBN 0-387-22833-0. 
• Rokhlin, V. A. (1952), On the fundamental ideas of measure theory (PDF), Translations, 71, American Mathematical Society, стр. 1—54, Архивирано из оригинала (PDF) 04. 03. 2016. г., Приступљено 02. 03. 2020 . Translated from Russian: Рохлин, В. А. (1949), „Об основных понятиях теории меры”, Математический Сборник (Новая Серия), 25 (67): 107—150 
• von Neumann, J. (1932), „Einige Sätze über messbare Abbildungen”, Annals of Mathematics, Second Series, 33: 574—586, doi:10.2307/1968536 
• Halmos, P. R.; von Neumann, J. (1942), „Operator methods in classical mechanics, II”, Annals of Mathematics, Second Series, Annals of Mathematics, 43 (2): 332—350, JSTOR 1968872, doi:10.2307/1968872 
• Haezendonck, J. (1973), „Abstract Lebesgue–Rohlin spaces”, Bulletin de la Societe Mathematique de Belgique, 25: 243—258 
• de la Rue, T. (1993), „Espaces de Lebesgue”, Séminaire de Probabilités XXVII, Lecture Notes in Mathematics, 1557, Springer, Berlin, стр. 15—21 
• Petersen, K. (1983), Ergodic theory, Cambridge Univ. Press 
• Itô, K. (1984), Introduction to probability theory, Cambridge Univ. Press 
• Rudolph, D. J. (1990), Fundamentals of measurable dynamics: Ergodic theory on Lebesgue spaces, Oxford: Clarendon Press 
• Sinai, Ya. G. (1994), Topics in ergodic theory, Princeton Univ. Press 
• Kechris, A. S. (1995), Classical descriptive set theory, Springer 
• Durrett, R. (1996), Probability: theory and examples (Second изд.) 
• Wiener, N. (1958), Nonlinear problems in random theory, M.I.T. Press 
• Bourbaki, Nicolas, Elements of mathematics, Hermann (original), Addison-Wesley (translation) 
• Eisenbud, David; Harris, Joe (2000), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98638-8, doi:10.1007/b97680 .
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre, ур. (2008), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11880-2 .
• Itô, Kiyosi, ур. (1993), Encyclopedic dictionary of mathematics (second изд.), Mathematical society of Japan (original), MIT press (translation) 
• Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).
• Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium изд.), Springer, ISBN 3-540-44085-2 
• Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd изд.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392 
• Whittle, Peter (2000). Probability via Expectation (4th изд.). New York, NY: Springer. ISBN 978-0-387-98955-6. Приступљено 24. 9. 2012. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Springer, Melvin Dale (1979). The Algebra of Random Variables. Wiley. ISBN 0-471-01406-0. Приступљено 24. 9. 2012. CS1 одржавање: Формат датума (веза)

Spoljašnje veze

• Sazonov, V.V. (2001). „Probability space”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Animation demonstrating probability space of dice
• Virtual Laboratories in Probability and Statistics (principal author Kyle Siegrist), especially, Probability Spaces
• Citizendium
• Complete probability space
• Weisstein, Eric W. „Prostor verovatnoće”. MathWorld.