Комутативност

Појам комутативности се најчешће везује за бинарне математичке операције код којих редослед операнада не утиче на резултат операције. То је основно својство многих бинарних операција и од њега зависе многи математички докази. Најпознатије као име својства које на пример наводи да је „3 + 4 = 4 + 3” или „2 × 5 = 5 × 2”. Ово својство се такође може користити у напреднијим подешавањима. Име је потребно јер постоје операције, као што су дељење и одузимање, које га немају (на пример, „3 − 5 ≠ 5 − 3“); такве операције нису комутативне, те се називају некомутативним операцијама. Идеја да су једноставне операције, као што су множење и сабирање бројева, комутативне је много година имплицитно претпостављана. Стога ово својство није добило име све до 19. века, када је математика почела да се формализује.^[1][2] Одговарајуће својство постоји за бинарне релације; за бинарну релацију се каже да је симетрична ако се релација примењује без обзира на редослед њених операнада; на пример, једнакост је симетрична пошто су два једнака математичка објекта једнака без обзира на њихов редослед.^[3]

Математичке дефиниције

Бинарна операција ${\displaystyle *}$ на скупу S је комутативна ако је^[4][5] $${\displaystyle x*y=y*x\qquad {\mbox{for all }}x,y\in S.}$$ Операција која не задовољава горњу особину назива се некомутативном.

Може се рећи да је x комутативно са y или да су x и y комутативни у погледу ${\displaystyle *}$ ако је $${\displaystyle x*y=y*x.}$$

Другим речима, операција је комутативна ако се сваки пар елемената комутативан.

Бинарна функција ${\displaystyle f\colon A\times A\to B}$ се понекад назива комутативном ако је $${\displaystyle f(x,y)=f(y,x)\qquad {\mbox{ за свако }}x,y\in A.}$$ Таква функција се чешће назива симетричном функцијом.

Пример

Операција комутативности.

Рецимо да је дефинисана бинарна операција ${\displaystyle \otimes :M^{2}\rightarrow X}$ тако да за ${\displaystyle \forall a,b\in M}$ важи:

${\displaystyle a\otimes b=b\otimes a}$

Онда је ова операција према дефиницији комутативна.

Уопштење

Овде се може направити и уопштење за ${\displaystyle M^{n}\,}$, ${\displaystyle n\in N\land n\geq 2}$. Операција ${\displaystyle \otimes :M^{n}\rightarrow X}$ је комутативна ако за сваку ${\displaystyle (a_{1},...,a_{n})\in M^{n}}$ и сваку њену пермутацију ${\displaystyle (a_{\sigma (1)},...,a_{\sigma (n)})\,}$ важи:

${\displaystyle (a_{1},...,a_{n})=(a_{\sigma (1)},...,a_{\sigma (n)})\,}$ тј.

${\displaystyle a_{1}\otimes a_{2}\otimes \dots \otimes a_{n}=a_{\sigma (1)}\otimes a_{\sigma (2)}\otimes \dots \otimes a_{\sigma (n)}}$

Историја и етимологија

Прва позната употреба термина била је у француском часопису објављеном 1814. године

Записи о имплицитној употреби комутативног својства сежу у давна времена. Египћани су користили комутативно својство множења да би поједноставили рачунарске производе.^[6][7] Познато је да је Еуклид преузео комутативно својство множења у својој књизи Елементи.^[8] Формална употреба комутативног својства настала је крајем 18. и почетком 19. века, када су математичари почели да раде на теорији функција. Данас је комутативно својство добро познато и основно својство које се користи у већини грана математике.

Прва забележена употреба термина комутативно била је у мемоарима Франсоа Сервоа из 1814. године,^[1][9] који је користио реч комутативни када је описивао функције које имају оно што се данас зове комутативно својство. Реч је комбинација француске речи commuter што значи „заменити или променити” и суфикса -ative што значи „тежња ка”, тако да реч дословно значи „тежња да се замени или промени”. Термин се тада појавио на енглеском 1838. године^[2] у чланку Данкана Фаркухарсона Грегорија под насловом „О стварној природи симболичке алгебре“ објављеном 1840. године у часопису Transactions of the Royal Society of Edinburgh.^[10]

Пропозициона логика

Правило замене

У истинитосно-функционалној пропозиционој логици, комутација^[11][12] или комутативност^[13] се односи на два важећа правила замене. Правила дозвољавају транспоновање пропозиционих променљивих унутар логичких израза у логичким доказима. Правила су:

${\displaystyle (P\lor Q)\Leftrightarrow (Q\lor P)}$

и

${\displaystyle (P\land Q)\Leftrightarrow (Q\land P)}$

где је „${\displaystyle \Leftrightarrow }$” металогички симбол који представља „може се заменити у доказу са”.

Истиносно функционални спојеви

Комутативност је својство неких логичких спојева истинито функционалне пропозиционе логике. Следеће логичке еквиваленције показују да је комутативност својство одређених веза. Следе истинитосно-функционалне таутологије.

Комутативност конјункције

${\displaystyle (P\land Q)\leftrightarrow (Q\land P)}$

Комутативност дисјункције

${\displaystyle (P\lor Q)\leftrightarrow (Q\lor P)}$

Комутативност импликације (назива се и закон пермутације)

${\displaystyle (P\to (Q\to R))\leftrightarrow (Q\to (P\to R))}$

Комутативност еквиваленције (назива се и потпуни комутативни закон еквиваленције)

${\displaystyle (P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow (Q\leftrightarrow P)}$

Теорија скупова

У теорији група и скупова, многе алгебарске структуре се називају комутативним када одређени операнди задовоље комутативно својство. У вишим гранама математике, као што су анализа и линеарна алгебра, комутативност добро познатих операција (као што су сабирање и множење на реалним и комплексним бројевима) се често користи (или имплицитно претпоставља) у доказима.^[14][15][16]

Математичке структуре и комутативност

• Комутативна полугрупа је скуп који има тоталну, асоцијативну и комутативну операцију.^[17][18]
• Ако операција додатно има елемент идентитета, постоји комутативни моноид.^[19]
• Абелова група, или комутативна група је група чија је групна операција комутативна.^[15]
• Комутативни прстен је прстен чије је множење комутативно. (Сабирање у прстену је увек комутативно.)^[20]
• У пољу су и сабирање и множење комутативни.^[21]

Види још

• Асоцијативност
• Антикомутативност
• Дистрибутивност

Референце

1. Cabillón & Miller, Commutative and Distributive
2. Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin, ур. (2011). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. стр. 4. ISBN 9780191627941. 
3. Weisstein, Eric W. „Symmetric Relation”. MathWorld. 
4. Krowne, стр. 1 harvnb грешка: no target: CITEREFKrowne (help)
5. Weisstein, Commute, p.1
6. Lumpkin 1997, стр. 11
7. Gay & Shute 1987
8. O'Conner & Robertson Real Numbers
9. O'Conner & Robertson, Servois
10. Gregory, D. F. (1840). „On the real nature of symbolical algebra”. Transactions of the Royal Society of Edinburgh. 14: 208—216. 
11. Moore & Parker harvnb грешка: no target: CITEREFMooreParker (help)
12. Copi & Cohen 2005
13. Hurley & Watson 2016
14. Axler 1997, стр. 2
15. Gallian 2006, стр. 34
16. Gallian 2006, стр. 26, 87
17. A. H. Clifford, G. B. Preston (1964). The Algebraic Theory of Semigroups Vol. I (Second Edition). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0272-4
18. A. H. Clifford, G. B. Preston (1967). The Algebraic Theory of Semigroups Vol. II (Second Edition). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0272-0
19. Gondran, Michel; Minoux, Michel (2008). Graphs, Dioids and Semirings: New Models and Algorithms. Operations Research/Computer Science Interfaces Series. 41. Dordrecht: Springer-Verlag. стр. 13. ISBN 978-0-387-75450-5. Zbl 1201.16038. 
20. Gallian 2006, стр. 236
21. Gallian 2006, стр. 250

Литература

• Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st изд.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551. 
• Axler, Sheldon (1997). Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. ISBN 0-387-98258-2. 
• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introduction to Logic (12th изд.). Prentice Hall. ISBN 9780131898349. 
• Gallian, Joseph (2006). Contemporary Abstract Algebra (6e изд.). Houghton Mifflin. ISBN 0-618-51471-6. 
• Goodman, Frederick (2003). Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry (2e изд.). Prentice Hall. ISBN 0-13-067342-0. 
• Hurley, Patrick J.; Watson, Lori (2016). A Concise Introduction to Logic (12th изд.). Cengage Learning. ISBN 978-1-337-51478-1. 
• Lumpkin, B. (1997). „The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt — A Response To Robert Palter” (PDF) (Unpublished manuscript). Архивирано из оригинала (PDF) 13. 7. 2007. г. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Gay, Robins R.; Shute, Charles C. D. (1987). The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. British Museum. ISBN 0-7141-0944-4. 
• Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Commutativity”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104. 
• Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007.
• Weisstein, Eric W. „Commute”. MathWorld. , Accessed 8 August 2007.
• „Yark”.  Examples of non-commutative operations at PlanetMath.org., Accessed 8 August 2007
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. „History of real numbers”. MacTutor. Приступљено 8. 8. 2007. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Cabillón, Julio; Miller, Jeff. „Earliest Known Uses Of Mathematical Terms”. Приступљено 22. 11. 2008. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. „biography of François Servois”. MacTutor. Архивирано из оригинала 02. 09. 2009. г. Приступљено 8. 8. 2007. CS1 одржавање: Формат датума (веза)
• Brown, Frank Markham (2003), Boolean Reasoning: The Logic of Boolean Equations, 1st edition, Kluwer Academic Publishers, Norwell, MA. 2nd edition, Dover Publications, Mineola, NY.
• Chang, C.C. and Keisler, H.J. (1973), Model Theory, North-Holland, Amsterdam, Netherlands.
• Kohavi, Zvi (1978), Switching and Finite Automata Theory, 1st edition, McGraw–Hill, 1970. 2nd edition, McGraw–Hill, 1978.
• Korfhage, Robert R. (1974), Discrete Computational Structures, Academic Press, New York, NY.
• Lambek, J. and Scott, P.J. (1986), Introduction to Higher Order Categorical Logic, Cambridge University Press, Cambridge, UK.
• Mendelson, Elliot (1964), Introduction to Mathematical Logic, D. Van Nostrand Company.
• Hofstadter, Douglas (1979). Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid. Basic Books. ISBN 978-0-465-02656-2. 
• Klement, Kevin C. (2006), "Propositional Logic", in James Fieser and Bradley Dowden (eds.), Internet Encyclopedia of Philosophy, Eprint.
• Formal Predicate Calculus, contains a systematic formal development along the lines of Alternative calculus
• forall x: an introduction to formal logic, by P.D. Magnus, covers formal semantics and proof theory for sentential logic.
• Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2nd изд.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1 
• Hall Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, New York: Macmillan 
• Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Applied Algebra: Codes, Ciphers and Discrete Algorithms, Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8 
• Rotman, Joseph J. (1973), The Theory of Groups: An Introduction (2nd изд.), Boston: Allyn and Bacon 
• Attila Nagy (2001). Special Classes of Semigroups. Springer. ISBN 978-0-7923-6890-8
• Howie, John M. (1995), Fundamentals of Semigroup Theory, London Mathematical Society Monographs. New Series, 12, Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-851194-9, Zbl 0835.20077 
• Jacobson, Nathan (1951), Lectures in Abstract Algebra, I, D. Van Nostrand Company, ISBN 0-387-90122-1 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (2nd изд.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mikhalev, Alexander V. (2000), Monoids, acts and categories. With applications to wreath products and graphs. A handbook for students and researchers, de Gruyter Expositions in Mathematics, 29, Berlin: Walter de Gruyter, ISBN 3-11-015248-7, Zbl 0945.20036 
• Lothaire, M. (1997), Lothaire, M, ур., Combinatorics on words, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, 17, Perrin, D.; Reutenauer, C.; Berstel, J.; Pin, J. E.; Pirillo, G.; Foata, D.; Sakarovitch, J.; Simon, I.; Schützenberger, M. P.; Choffrut, C.; Cori, R.; Lyndon, Roger; Rota, Gian-Carlo. Foreword by Roger Lyndon (2nd изд.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-59924-5, MR 1475463, Zbl 0874.20040, doi:10.1017/CBO9780511566097 

Спољашње везе

• Chapter 2 / Propositional Logic from Logic In Action
• Propositional sequent calculus prover on Project Nayuki. (note: implication can be input in the form !X|Y, and a sequent can be a single formula prefixed with > and having no commas)
• Propositional Logic - A Generative Grammar
• Weisstein, Eric W. „Binary Operation”. MathWorld.