Група (математика)

Ова слика илуструје како сати на часовнику формирају групу.

Група је у апстрактној алгебри скуп са бинарном операцијом, који задовољава аксиоме затворености, асоцијативности и има неутрални и инверзни елемент. Грана математике која проучава групе је теорија група.

Многе структуре којима се математика бави су у ствари групе. Међу њима су познати бројевни системи, као што су цели бројеви, рационални бројеви, реални бројеви, и комплексни бројеви под сабирање, као и рационални бројеви различити од нуле, реални бројеви и комплексни бројеви под множењем. Други важни примери су групе не-сингуларних матрица под множењем, и група инвертибилних функција под слагањем функција. Теорија група омогућава да се својства оваквих структура изучавају у општим случајевима.

Теорија група има широку примену у математици и другим природним наукама. Многе алгебарске структуре, као што су поља и векторски простори могу концизно да се дефинишу у терминима група, и теорија група пружа важне алате за проучавање симетрије, јер симетрије сваког објекта граде групу. Групе су стога кључне апстракције у гранама физике које се тичу принципа симетрије, као што су теорија релативитета, квантна механика, и физика честица. Штавише, њихова могућност да представе геометријске трансформације им доноси примену у хемији, рачунарству, и другим областима.

Дефиниција

Група је скуп са бинарном операцијом , која задовољава следеће четири аксиоме:

  • Затвореност: За свако из , резултат је такође у .

Најчешће се захтев за затвореношћу не наводи експлицитно, јер се он подразумева у исказу да је * бинарна операција.

  • Асоцијативност: За свако и из , .
  • Неутрал: Постоји елемент из такав да за свако из , .

Може се показати да група има тачно један неутрал.

  • Инверз: За свако из , постоји елемент , такође из , такав да , где је неутрал.

Може се показати да је инверз датог елемента јединствен, и да је леви и десни инверз елемента исти. Постоје и уже дефиниције, које замењују другу и трећу аксиому концептом левог (или десног) неутрала и инверза.

Група се често означава само словом , кад не постоји двосмисленост око тога шта је операција.

Основни концепти теорије група

  • Ред групе , који се означава изразом , је број елемената у скупу . Ако ред није коначан, тада је група бесконачна група, што се означава као .
  • Ред елемента из групе је најмањи позитиван цео број такав да , где је умножак самим собом пута (или друга погодна композиција у зависности од оператора групе). Ако не постоји такво , тада се каже да је ред од бесконачан.

Подгрупа

Скуп је подгрупа групе ако је подскуп и група у односу на операцију дефинисану на . Другим речима, је подгрупа од ако је рестрикција од на операција групе на . Како су остала својства аутоматски задовољена, је подгрупа групе ако и само ако је затворен у односу на и инверз.

Ако је коначна група, тада је коначна и . Притом ред од дели ред од по Лагранжовој теореми.

Ознаке група

Могуће је користити различите ознаке за групе у зависности од контекста и операције.

  • Адитивне групе користе да означе сабирање, а да означе инверзе. На пример, у . Према опште прихваћеној конвенцији, ознака се користи искључиво за комутативне групе.
  • Мултипликативне групе користе да означе множење, а да означе инверзе. На пример, . Врло често се изоставља и записује се само .
  • Групе функција користе да означе композицију функција, и да означе инверзе. На пример, . Врло често се изоставља и записује се само .

Када се дефинишу групе, стандардна нотација подразумева да се користе заграде за дефинисање групе и њене операције. На пример, означава да је скуп група у односу на сабирање. За групе као што су и је уобичајено да се изоставе заграде и операција, нпр. и . Такође је исправно да се група означава ознаком њеног скупа, нпр. или .

Неутрал се означава словом , али се понекад користи и нека друга ознака у зависности од групе. Код мултипликативних група, неутрал може да се означава бројем 1. Код група инвертибилних матрица, неутрал се обично означава као или . Код адитивних група, неутрал може да се означава бројем 0. Код група функција, неутрал се обично означава као или .

Ако је подскуп скупа и је елемент , тада, у мултипликативној нотацији, је скуп свих производа ; слично, нотација ; и за два подскупа и скупа , се пише за . У адитивној нотацији, записује се и за одговарајуће скупове.

Врсте група

Абелова група

Група је Абелова или комутативна ако је операција комутативна, то јест, за свако , из , . Абелове групе су добиле име по математичару Нилсу Абелу.

1. пример: Позната Абелова група је група целих бројева под сабирањем. Нека је скуп целих бројева,, и нека симбол означава операцију сабирања. Тада је група, пошто су испуњени захтеви:

  • Затвореност: Ако су и цели бројеви, тада је цео број.
  • Асоцијативност: Ако су , , и цели бројеви, тада је .
  • Постоји неутрал: је цео број, и за сваки цео број , .
  • Постоји инверз: Ако је цео број, тада цео број задовољава правила инверза: ,

и одавде наведена група је Абелова, јер важи .

Проширењем операција, ако додамо и операцију множења на истом скупу, добијамо целе бројеве са сабирањем и множењем, што ће представљати сложенију алгебарску структуру, која се назива прстен.

2. пример: Са друге стране, ако посматрамо целе бројеве са операцијом множења, означеног симболом , тада није група. Ово задовољава већину аксиома, али нема инверзе:

  • Затвореност: Ако су и цели бројеви, тада је цео број.
  • Асоцијативност: Ако су , , и цели бројеви, онда .
  • Постоји неутрални елемент: је цео број, и за сваки цео број , .
  • Међутим, не важи да кад год је цео број, постоји цео број такав да . На пример, је цео број, али једино решење једначине у овом случају је . Не можемо да изаберемо јер није цео број.

Како нема сваки елемент из инверз, није група. Међутим, ово јесте комутативни моноид, што је структура која се дефинише слично групи, али без захтева за постојањем инверза.

3. пример: Скуп рационалних бројева без нуле, тј. скуп свих разломака , где су и цели бројеви, а је различито од нуле, са операцијом множења означеном симболом . Како рационалан број 0 нема мултипликативни инверз, , као , није група.

Међутим, ако користимо скуп свих рационалних бројева различитих од нуле, , тада гради Абелову групу.

  • Затвореност, асоцијативност, и постојање неутрала је лако проверити због својстава целих бројева.
  • Инверз: Инверз је и аксиома је задовољена.

Не губимо затвореност уклањањем нуле, јер је производ два рационална броја различита од нуле увек различит од нуле. Као што цели бројеви дају прстен, рационални бројеви дају алгебарску структуру поље, која допушта операције сабирања, одузимања, множења и дељења.

4. пример: За конкретнији пример групе, узмимо три обојене плочице (црвену, зелену и плаву) на почетку постављене у распоред ЦЗП. Нека је дејство „замени прву и другу плочицу“, и нека је дејство „замени другу и трећу плочицу“.

Циклични дијаграм за .

У мултипликативном облику, традиционално записујемо за комбиновано дејство у „прво уради , а затим уради “; тако да је акција ЦЗП → ЦПЗ → ПЦЗ, тј, „узми плаву плочицу, и помери је на почетак“. Ако са означавамо дејство „остави плочице тамо где јесу“ (неутрал), тада можемо да напишемо шест пермутација скупа три плочице као следећа дејства:

  •  : ЦЗП → ЦЗП
  •  : ЦЗП → ЗЦП
  •  : ЦЗП → ЦПЗ
  •  : ЦЗП → ПЦЗ
  •  : ЦЗП → ЗПЦ
  •  : ЦЗП → ПЗЦ

Дејство има ефекат ЦЗП → ЗЦП → ЦЗП, што оставља плочице тамо где су и биле; тако да записујемо = . Слично,

  • ,
  • , и
  • ;

тако да свако од горенаведених дејстава има инверз.

Провером, можемо такође да утврдимо асоцијативност и затвореност; обратимо пажњу на пример да

  • , и
  • .

Ова група се назива симетричном групом над 3 слова, или . Има ред 6 (или факторијел), и није Абелова (јер, на пример ). Како је добијено од основних дејстава и , кажемо да је скуп генераторни скуп групе.

Општије, можемо да дефинишемо симетричну групу од свих пермутација објеката. Ова група се означава као и реда је факторијел.

Један од разлога зашто су пермутационе групе важне је што се свака коначна група може представити као подгрупа симетричне групе (где је број елемената групе ); овај резултат је Кејлијева теорема.

Циклична група

Циклична група је група чији елементи могу да буду генерисани узастопном применом операције која дефинише групу (и операције узимања инверзног елемента), примењене на само један елемент те групе. Овај примитивни елемент се назива генератором, или примитивним елементом групе.

  • Мултипликативна циклична група где је група, а генератор: .
  • Адитивна циклична група, са генератором :

Ако се сукцесивна примена операције која дефинише групу примени на ма који (могуће непримитивни) елемент групе, добија се циклична подгрупа. Ред цикличне подгрупе дели ред групе. Стога, ако је ред групе прост, сви њени елементи, изузев неутрала су примитивни елементи групе.

Важно је напоменути да група садржи све цикличне подгрупе генерисане сваким од елемената групе. Међутим, група конструисана из цикличних подгрупа није обавезно циклична подгрупа. На пример, Клајнова четворна група није циклична група, иако је конструисана од две цикличне групе реда 2.

Свака коначна Абелова група се може представити као директан производ неких својих цикличних подгрупа, по структурној теореми за коначне Абелове групе.

1. пример: Код цикличне мултипликативне групе , сви елементи групе су добијени скупом свих целобројних експонената примитивног елемента те групе:

У овом примеру, ако је једнако 2, и операција је оператор множења, тада . Модуло може да веже групу у коначан скуп са неразломљеним скупом елемената, јер би инверз (и , итд.) био унутар скупа.

Једноставне теореме

  • Група има тачно један неутрал.
Доказ: Претпоставимо да су и и неутрали. Тада по дефиницији неутрала, и такође . Али онда је .
Следи да је неутрал јединствен.
  • Сваки елемент има тачно један инверз.
Доказ: Претпоставимо да су и и инверзи елемента . Тада, по дефиницији инверза, и . Али онда:
(множењем слева са )
(коришћењем )
(аксиома неутралног елемента)
Следи да је инверз јединствен.

Прва два својства у ствари произлазе из асоцијативности бинарних операција дефинисаних на скупу. Ако је дата бинарна операција на скупу, постоји највише један неутрал и највише један инверз за сваки елемент (без обзира на то имају ли остали елементи инверзе).

  • Може се вршити дељење у групама; то јест, ако су дати елементи и групе , постоји тачно једно решење из једначине и тачно једно решење из једначине . Опрез: у не-Абеловим групама, ови елементи и не морају бити једнаки, те тако у општем ознака нема смисла.
  • Израз је недвосмислен, јер ће резултат бити исти невезано од тога где поставимо заграде. (Резултат примене принципа математичке индукције на асоцијативно својство.)
  • (Чарапе и ципеле) Инверз производа је производ инверза у супротном редоследу: .
Доказ: Показаћемо да , као што се тражи по дефиницији инверза.
= (асоцијативност)
= (дефиниција инверза)
= (дефиниција неутралног елемента)
= (дефиниција инверза)
И слично за други смер.

Литература

  • Ayres, Frank (1965). Schaum's Outline of Modern Abstract Algebra (1st изд.). McGraw-Hill. ISBN 9780070026551. 

Види још

Read other articles:

David Trézéguet Informasi pribadiNama lengkap David Sergio TrézéguetTanggal lahir 15 Oktober 1977 (umur 46)Tempat lahir Rouen, PrancisTinggi 1,87 m (6 ft 1+1⁄2 in)Posisi bermain PenyerangKarier junior1984–1993 PlatenseKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)1994–1995 Platense 5 (0)1995–2000 Monaco 93 (52)2000–2010 Juventus 245 (138)2010–2011 Hércules 31 (12)2011 Baniyas 3 (0)2012–2013 River Plate 35 (16)2013–2014 Newell's Old Boys 24 (7)2014 FC Pune Ci...

 

Islam-isoonTerminologie in islamitische architectuur Algemeen: Bazaar · Camekan · Hamam · Hussainia · Karavanserai · Madrassa · Mihrab · Minaret · Minbar · Moskee · Muqarnas · Riwaq · Sahn · Soek · SoguklukMaghrebijnse architectuur: Kasba · Ksar · Medina · RibatOttomaans-Turkse architectuur: Külliye · Sjadirvan · TürbePerzische architectuur: Ab anbar · Ali Qapu · Azeri-stijl · Howz · Iwan · Shabestan · Tekiyeh · Windvanger · Yakhchal Zeshoekige türbe van Damad Al...

 

French-American relations redirects here. For France's relations with all of North and South America, see France–Americas relations. Bilateral relationsFrench-American relations France United States Diplomatic missionEmbassy of France, Washington, D.C.Embassy of the United States, ParisEnvoyFrench Ambassador to the United States Laurent BiliAmerican Ambassador to France Denise Bauer France was the first friendly country of the new United States in 1778. The 1778 Treaty of Alliance between t...

Maria HowellLahirWanda Maria HowellGastonia, Carolina Utara, Amerika SerikatPekerjaanAktrisTahun aktif1985–sekarangSitus webwww.mariahowell.com Wanda Maria Howell adalah seorang aktris dan penyanyi asal Amerika Serikat.[1] Howell lahir di Gastonia, Carolina Utara dan lulus dari Winston-Salem State University di Winston-Salem, Carolina Utaa.[1] Ia berkarya sebagai penyanyi jazz dan membuat debut film dalam The Color Purple (1985).[1] Ia tinggal di Okinawa, Jepang...

 

ستشوبشيم    شعار الاسم الرسمي (بالفرنسية: Schwobsheim)‏    الإحداثيات 48°13′58″N 7°34′34″E / 48.232777777778°N 7.5761111111111°E / 48.232777777778; 7.5761111111111[1]  [2] تقسيم إداري  البلد فرنسا[3]  التقسيم الأعلى الراين الأسفل (1920–)الراين الأسفل (4 مارس 1790–1871)  خصائص جغر...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (مايو 2023) كارمن كاسكو دي لارا كاسترو معلومات شخصية اسم الولادة (بالإسبانية: Carmen Elida de Jesús Casco Miranda)‏  الميلاد 17 يونيو 1918  كونسيبسيون  الوفاة 8 مايو 1993 (74 سنة)   أسو...

本條目被提議拆分至新條目「中南海业余大学」。(討論) (2022年6月22日)   提示:此条目的主题不是北京电子科技职业学院。 北京电子科技学院Beijing Electronics Science&Technology Institute校南门校训忠诚 笃学 严谨 守纪创办时间1947年8月学校标识码4111010018学校类型重点大学党委书记鲍遂献院長毛明校址 中国北京市丰台区富丰路7号总面积140亩隶属中共中央办公厅網站...

 

Town in SanaagMindigale Degmada MindigaleTownMindigaleLocationShow map of SomalilandMindigaleMindigale (Somalia)Show map of SomaliaCoordinates: 10°40′49″N 48°40′27″E / 10.68028°N 48.67417°E / 10.68028; 48.67417Country Somaliland(territorial claim) Puntland(effective control)RegionSanaagDistrictLas KhoreyPopulation (2016[1]) • Total700Time zoneUTC+3 (East Africa Time) Mindigale (Somali: Midigale) is a town in the Sanaag reg...

 

Internal base of the human biological male sex organ This article includes a list of references, related reading, or external links, but its sources remain unclear because it lacks inline citations. Please help to improve this article by introducing more precise citations. (May 2015) (Learn how and when to remove this template message) Crus of penisThe constituent cavernous cylinders of the penis. (Crus labeled at bottom left.)Vertical section of bladder, penis, and urethra. (Crus penis label...

Kartika DeepamKolam and agal vilakku (oil lamp) arranged for the occasion of Kartika Deepam.Observed byHindus Tamils in India, Sri Lanka, Singapore, Malaysia, Indonesia, Kenya, Australia, Russia, Tamil Diaspora, Caribbean Madrasi CommunitiesSignificanceShiva's manifestation of the JyotirlingaOrigin of Kartikeya Veneration of Nikaramma BhagavatiVamana's victory over MahabaliCelebrationsPuja, celebrations, lighting of bonfires and lamps2023 date25 November2024 date13 DecemberFreq...

 

Norwegian freestyle athlete Morten Ring Christensen (born 9 November 1990) is a Norwegian-Danish freestyle athlete who is competes in the sport Skicross. He represents IL Trysilgutten. He lives in Trysil, Norway and is a member of the Norwegian Skicross Worldcup Team. He missed the 2010 Vancouver Olympics due to his diagnosis of Hodgkin's lymphoma. Early life Born in Odder, Denmark. He lived in Skanderborg, Denmark, until the age of 7 when him and his family moved to Trysil, Norway. Skiing ca...

 

Claimed psychic medium Suzane NorthropBornSuzane NorthropNationalityAmericanOccupationSelf-described Psychic mediumWebsitewww.suzanenorthrop.com Part of a series onParanormal Main articles Astral projection Astrology Aura Bilocation Breatharianism Clairvoyance Close encounter Cold spot Crystal gazing Conjuration Cryptozoology Demonic possession Demonology Ectoplasm Electronic voice phenomenon Exorcism Extrasensory perception Forteana Fortune-telling Ghost hunting Indigo children Magic Mediums...

Road in Turkey D.100Route informationPart of E80 / AH1 / AH5 / AH85 Length1,788 km (1,111 mi)Major junctionsWest end A 4 at the Bulgarian border near KapıkuleEast end Road 32 at the Iranian border near Gürbulak LocationCountryTurkey Highway system Highways in Turkey Motorways List State Highways List State road D-100 in Kadıköy, Istanbul seen westwards D.100 is a west to east state road in Turkey. It starts at Kapıkule, the Bulgarian border check p...

 

This article relies excessively on references to primary sources. Please improve this article by adding secondary or tertiary sources. Find sources: Hunan University of Humanities, Science and Technology – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (November 2008) (Learn how and when to remove this template message) Hunan University of Humanities, Science and Technology湖南人文科技学院Motto谋近以致远,养根而俟实TypePublic university...

 

Protein-coding gene in the species Homo sapiens TENM3IdentifiersAliasesTENM3, MCOPCB9, ODZ3, TNM3, Ten-m3, ten-3, teneurin transmembrane protein 3, MCOPS15, TEN3External IDsOMIM: 610083 MGI: 1345183 HomoloGene: 22673 GeneCards: TENM3 Gene location (Human)Chr.Chromosome 4 (human)[1]Band4q34.3-q35.1Start182,143,987 bp[1]End182,803,024 bp[1]Gene location (Mouse)Chr.Chromosome 8 (mouse)[2]Band8|8 B1.1-B1.2Start48,227,682 bp[2]End48,843,951 bp[2]...

Japanese manga series by Rinko Ueda Stepping on RosesCover of the first manga volume, featuring Sumi and Soichiro.裸足でバラを踏め(Hadashi de Bara o Fume)GenreRomance[1] MangaWritten byRinko UedaPublished byShueishaEnglish publisherNA: Viz MediaAU: Madman EntertainmentMagazineMargaretDemographicShōjoOriginal run2007 – March 19, 2012Volumes9 (List of volumes) Stepping on Roses (Japanese: 裸足でバラを踏め, Hepburn: Hadashi de Bara o Fume, lit. Stepping on Ro...

 

Basketball team in Istanbul, Turkeyİstanbul BBLeaguesTurkish Basketball Second LeagueFounded2000; 23 years ago (2000)Historyİstanbul Büyükşehir Belediyespor(2000–present)ArenaCebeci Sport HallCapacity1,250LocationIstanbul, TurkeyTeam colorsNavy blue, pink   PresidentAhmet Hamdi ÇamlıHead coachVacantWebsiteistanbulbbsk.org Home Away Departments of İstanbul Büyükşehir Belediyespor Athletics Basketball Volleyball Karate Swimming Table tennis Wrestling Jud...

 

Russian-Germans Russia GermansFlag of Russia GermansMap of the distribution of Russia Germans in Russia in 2010.Regions with significant populationsRussia394 000 (2010)Russian Soviet Federative Socialist Republic842 000 (1989)Union of Soviet Socialist Republics2 039 000 (1989)LanguagesGerman, Russian, Mennonite Low German, Swabian GermanReligionHistorically Protestant and Catholic, also and currently more Eastern Orthodox Famous Russian Germans:Denis Fonwisin, Michael de TollyAlexander von Be...

Richard C. Schneider (2019) Richard Chaim Schneider (* 6. Januar 1957 in München) ist ein deutscher Journalist, Autor und Dokumentarfilmer. Außerdem war er Leiter der ARD-Studios in Tel Aviv und in Rom. Inhaltsverzeichnis 1 Leben 2 Positionen 3 Auszeichnungen 4 Bücher 5 Weblinks 6 Einzelnachweise Leben Schneider wurde als Sohn ungarischer Schoah-Überlebender geboren und studierte Germanistik, Theaterwissenschaften, Kunstgeschichte sowie Philosophie. Er war mehrere Jahre als Regieassistent...

 

Species of butterfly Dull babul blue In Charles Swinhoe's Lepidoptera Indica Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Arthropoda Class: Insecta Order: Lepidoptera Family: Lycaenidae Genus: Azanus Species: A. uranus Binomial name Azanus uranusButler 1886 Azanus uranus, the dull babul blue[1] or Indian babul blue, is a small butterfly found in India[1] that belongs to the lycaenids or blues family. It was first described by Arthur Gardiner Butle...

 

Strategi Solo vs Squad di Free Fire: Cara Menang Mudah!