Zbërthimi i bashkësisë

Particion apo zbërthim i bashkësisë X është bashkësia P e të gjitha nënbashkësive jo të zbrazta të X të tilla që

1. Unioni i elementeve nga P është i barabartë me X.
2. Prerja ç'do dy elementeve të ndryshme nga P është bashkësi e zbrazët.

Me simbole matematikore këto dy kushte mund të shënohen me

1. ${\displaystyle \bigcup P=X}$
2. ${\displaystyle A\cap B=\emptyset {\text{ nese }}A\in P,B\in P,A\neq B}$

Elementet e P i quajmë blloqe ose pjesë të particionit.^[1]

Shembuj

• Bashkësia {x} ka vetëm një particion { {x} }.
• Nëse X është një bashkësi jo e zbrazët atëherë, P = {X} është një particion i X.
• Bashkësia { 1, 2, 3 } ka këto 5 particione të ndryshme.
  • { {1}, {2}, {3} }, shkurt shënojmë 1/2/3.
  • { {1, 2}, {3} }, shkurt shënojmë 12/3.
  • { {1, 3}, {2} }, shkurt shënojmë 13/2.
  • { {1}, {2, 3} }, shkurt shënojmë 1/23.
  • { {1, 2, 3} }, shkurt shënojmë 123.

Partitionet dhe relacioni i ekuivalencës

Imtësimi i particioneve

Çdo particion α i bashkësisë X është imtësim i particionit ρ të X—dhe themi se α është më imtë se ρ dhe ρ është më i trashë se α—nëse ç'do element i α është nënbashkësi e ndonjë elementi të ρ. Joformalisht kjo do të thotë se α është fragmentim ose coptim i ρ. Në këtë rast përdorim shënimin α ≤ ρ.

Relacioni është më i imët se në bashkësinë e particioneve të X është një renditje e pjesshme ose rrjetë e plotë. Si shembull janë dhënë particionet e bashkësisë X = {1, 2, 3, 4}, kjo rrjetë e particioneve ka 15 elemente dhe ajo formon të ashtuquajturin diagram Hasse në figurën më poshtë

Numri i particioneve

Numri i particioneve të një bashkësie me n-elemente është numër i Bellit B_n. Disa nga numrat eparë të Bellit janë B₀ = 1, B₁ = 1, B₂ = 2, B₃ = 5, B₄ = 15, B₅ = 52, B₆ = 203 etj. Numrat e Bellit e plotësojnë rekurencën ${\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}}$

Funksioni gjenerues i numrave të Belleit është

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}=e^{e^{z}-1}.}$

Numri i particioneve të një bashkësie me n-elemente në k pjesë është numër i Stirlingut i llojit të dytë S(n, k).

Shënime

1. Brualdi, pp. 44-45

Referime

• Brualdi, Richard A. (2004). Introductory Combinatorics (bot. i katërt). Pearson Prentice Hall. ISBN 0131001191. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
• Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. ISBN 0126227608. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)