Ndryshorja e rastit

Një ndryshore e rastësishme është një formalizim (zyrtarizim) matematikor i një madhësie ose objekti që varet nga ngjarje të rastësishme. ^[1] Është një hartë ose një funksion nga rezultatet e mundshme (p.sh., anët e sipërme të mundshme të një monedhe të kthyer si koka ${\displaystyle H}$ dhe pili ${\displaystyle T}$ ) në një hapësirë mostre (p.sh. grupi ${\displaystyle \{H,T\}}$ ) në një hapësirë të matshme, shpesh numrat realë (p.sh. ${\displaystyle \{-1,1\}}$ në të cilën -1 që korrespondon me ${\displaystyle H}$ dhe 1 që korrespondon me ${\displaystyle T}$ ).

Ky grafik tregon se si ndryshorja e rastësishme është një funksion nga të gjitha rezultatet e mundshme në vlerat reale. Ai gjithashtu tregon se si përdoret ndryshorja e rastësishme për përcaktimin e funksioneve të masës së probabilitetit.

Joformalisht, rastësia zakonisht përfaqëson një element themelor të shansit, si p.sh. në hedhjen e një zari ; mund të përfaqësojë gjithashtu pasiguri, si p.sh. gabim në matje . ^[1] Megjithatë, interpretimi i probabilitetit është filozofikisht i ndërlikuar, madje edhe në raste specifike nuk është gjithmonë i drejtpërdrejtë. Analiza thjesht matematikore e variablave të rastësishme është e pavarur nga vështirësi të tilla interpretuese dhe mund të bazohet në një strukturë rigoroze aksiomatike.

Në gjuhën formale matematikore të teorisë së matjes, një ndryshore e rastit përkufizohet si një funksion i matshëm nga një hapësirë matëse probabiliteti (e quajtur hapësira e kampionimit ) në një hapësirë të matshme . Kjo lejon marrjen në konsideratë të masës shtytëse, e cila quhet shpërndarja e ndryshores së rastësishme; shpërndarja është pra një masë probabiliteti në grupin e të gjitha vlerave të mundshme të ndryshores së rastit. Është e mundur që dy variabla të rastësishëm të kenë shpërndarje identike, por të ndryshojnë në mënyra të rëndësishme; për shembull, ato mund të jenë të pavarura .

Sipas George Mackey, Pafnuty Chebyshev ishte personi i parë që "mendoi sistematikisht në terma të ndryshoreve të rastësishme". ^[2]

E ç'është ndryshorja e rastit?

Një ndryshore e rastit ${\displaystyle X}$ është një funksion i matshëm ${\displaystyle X\colon \Omega \to E}$ nga një hapësirë kampionimi ose ndryshe ngjarje ${\displaystyle \Omega }$ si një grup rezultatesh të mundshme për një hapësirë të matshme ${\displaystyle E}$ . Përkufizimi teknik aksiomatik kërkon hapësirën ngjarjeve ${\displaystyle \Omega }$ të jetë një hapësirë mostër e një probabiliteti të trefishtë ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}$ (shih përkufizimin e teorisë së masës ). Një ndryshore e rastësishme shpesh shënohet me shkronja të mëdha romake si p.sh ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$, ${\displaystyle Z}$, ${\displaystyle T}$ . ^[3]

Probabiliteti që ${\displaystyle X}$ merr një vlerë në një grup të matshëm ${\displaystyle S\subseteq E}$ shkruhet si

${\displaystyle \operatorname {P} (X\in S)=\operatorname {P} (\{\omega \in \Omega \mid X(\omega )\in S\})}$

Në terma më të drejtpërdrejtë dhe më pak formalë, nëse kemi bashkësinë e ngjarjeve ${\displaystyle \Omega }$, atëherë gjendet një funksion hartëzues nga ${\displaystyle \Omega }$ në ${\displaystyle {\mathcal {X}}}$ që është hapësira e rezultateve të ndryshores të rastit. Pra ngjarjet nëpërmjet këtij funksioni kthehen në numra. Më pas me anë të një funksioni tjetër këta numra kthehen në probabilitete.

Lexuesi natyrshëm shtron pyetjen: "Përse nuk mund të hartëzohen direkt ngjarjet në probabilitete?". Kjo bëhet sepse ekziston një shpërndarje matematike e përshtatshme e cila kur merr në hyrje një numër (korresponduesin e ngjarjes që duam të gjejmë probabilitetin), jep probabilitetin shoqërues të këtij numri.

1. ^ Blitzstein, Joe; Hwang, Jessica (2014). Introduction to Probability. CRC Press. ISBN 9781466575592. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Gabim referencash: Invalid <ref> tag; name ":2" defined multiple times with different content
2. George Mackey (korrik 1980). "Harmonic analysis as the exploitation of symmetry - a historical survey". Bulletin of the American Mathematical Society. New Series. 3. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
3. "Random Variables". www.mathsisfun.com. Marrë më 2020-08-21. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)