Izrek o simetrali kota

Po izreku velja: ${\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {AB}{AC}}}$

Izrèk o simetráli kóta v ravninski geometriji povezuje dolžine nasprotnih stranic kotov z dolžinami drugih dveh stranic trikotnika: kotna simetrala trikotnika deli njegovo nasprotno stranico na dela, ki sta sorazmerna z drugima dvema stranicama.

V trikotniku ABC naj simetrala notranjega kota A seka stranico a (BC) v točki D. Po izreku je razmerje dolžin daljic BD in DC enako razmerju dolžin stranic c (AB) in b (AC):

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}\!\,.}$

Izrek velja tudi za simetrale zunanjih kotov.

Posplošitev

V splošnem velja tudi, da če je D poljubna točka na stranici a (BC), potem:

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|AB|\sin \angle DAB}{|AC|\sin \angle DAC}}\!\,.}$

Če je AD simetrala kota BAC, je:

${\displaystyle \sin \angle DAB=\sin \angle DAC\!\,,}$

kar da prejšnjo neposplošeno obliko izreka.

Splošna oblika izreka velja tudi, če točka D leži kjerkoli na nosilki stranice a (BC) tudi zunaj trikotnika, kjer moramo upoštevati edino pravilno smer daljic (vektorji) in kotov.

Harmonična četverka točk

Točke C, B, D in E tvorijo harmonično četverko točk

Simetrala notranjega kota s točko D in simetrala zunanjega kota s točko E razdeli stranico BC (a) tako, da tvorijo harmonično četverko točk, in velja:

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|EB|}{|EC|}}={\frac {|AB|}{|AC|}}={\frac {c}{b}}=\lambda \!\,.}$

Množica vseh točk, za katere je razmerje njihovih razdalj od dveh stalnih točk - v tem primeru krajišč stranice a (B in C) - konstantno (enako ${\displaystyle \lambda }$):

${\displaystyle |MB|=\lambda |MC|\!\,,}$

je Apolonijev krog. Izjemen je primer za ${\displaystyle \lambda =1}$, ko točke ležijo na simetrali daljice BC, in je točka D razpolovišče BC, ustrezna točka E pa ne obstaja. Razmerje razdalj označujejo s k ali pa npr. z obratno vrednostjo ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle 1/\mu }$.