Elipsoid z osmi (a, b, c) = (4, 2, 1)
Elipsoíd je ploskev drugega reda, ki je razširitev pojma elipsa na tri razsežnosti .
Enačba v kartezičnem koordinatnem sistemu je:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
+
z
2
c
2
=
1
,
{\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\!\,,}
kjer so a , b in c ekvatorialni polmeri vzdolž osi x , y in z . Števila a , b in c so pozitivna realna števila , ki določajo obliko elipsoida. Dolžine odsekov, ki jih ploskev določa na pripadajočih koordinatnih oseh (x, y, z), se imenujejo glavne polosi elipsoida. Za števila a , b in c lahko nastopijo naslednji primeri:
a
=
b
=
c
:
{\displaystyle a=b=c:\,\!}
sfera ;
a
=
b
>
c
:
{\displaystyle a=b>c:\,\!}
sploščeni sferoid (oblika diska);
a
=
b
<
c
:
{\displaystyle a=b<c:\,\!}
podolgovati sferoid (oblika cigare);
a
>
b
>
c
:
{\displaystyle a>b>c:\,\!}
triosni elipsoid (tri različne polosi).
Kadar sta dve osi enaki, se nastala površina imenuje sferoid .
Parametrizirana oblika
V sfernem koordinatnem sistemu se lahko parametrizirano obliko enačbe elipsoida napiše kot:
x
=
a
sin
-->
(
θ θ -->
)
cos
-->
(
φ φ -->
)
;
|
y
=
b
sin
-->
(
θ θ -->
)
sin
-->
(
φ φ -->
)
;
z
=
c
cos
-->
(
θ θ -->
)
;
{\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\sin(\theta )\cos(\varphi );\!{\color {white}|}\\y&=b\,\sin(\theta )\sin(\varphi );\\z&=c\,\cos(\theta );\end{aligned}}\,\!}
kjer je:
+
θ θ -->
′
{\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\theta {\color {white}'}\,\!}
kolatituda ali zenitni kot in
+
φ φ -->
− − -->
{\displaystyle {\color {white}+}\!\!\!\varphi {\color {white}\!\!\!-}\,\!}
dolžina ali azimut :
Kota lahko zavzameta naslednje vrednosti:
0
≤ ≤ -->
θ θ -->
≤ ≤ -->
180
∘ ∘ -->
;
0
≤ ≤ -->
φ φ -->
≤ ≤ -->
360
∘ ∘ -->
;
|
{\displaystyle {\begin{matrix}0\leq \theta \leq {180}^{\circ };\quad {0}\leq \varphi \leq {360}^{\circ };\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!}
Površina
Površine elipsoida se ne da izračunati z uporabo samo elementarnih funkcij .
Izračuna se jo lahko s pomočjo naslednjega obrazca:
S
=
2
π π -->
(
c
2
+
b
a
2
− − -->
c
2
E
(
o
ε ε -->
,
m
)
+
b
c
2
a
2
− − -->
c
2
F
(
o
ε ε -->
,
m
)
)
,
{\displaystyle S=2\pi \left(c^{2}+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(o\!\varepsilon ,m)+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(o\!\varepsilon ,m)\right),\,\!}
kjer pomeni:
o
ε ε -->
=
arccos
-->
(
c
a
)
{\displaystyle o\!\varepsilon =\arccos \left({\frac {c}{a}}\right)\ }
za sploščene elipsoide
o
ε ε -->
=
arccos
-->
(
a
c
)
{\displaystyle o\!\varepsilon =\arccos \left({\frac {a}{c}}\right)\ }
za podolgovate elipsoide
kot, ki se imenuje kotna izsrednost ;
m
=
b
2
− − -->
c
2
b
2
sin
-->
(
o
ε ε -->
)
2
{\displaystyle m={\frac {b^{2}-c^{2}}{b^{2}\sin(o\!\varepsilon )^{2}}}\,\!}
E
(
o
ε ε -->
,
m
)
{\displaystyle E(o\!\varepsilon ,m)\,\!}
in
F
(
o
ε ε -->
,
m
)
{\displaystyle F(o\!\varepsilon ,m)\,\!}
sta nepopolna eliptična integrala prvega in drugega reda.
Približna vrednost površine se dobi tudi s pomočjo naslednjega obrazca:
S
≈ ≈ -->
4
π π -->
(
a
p
b
p
+
a
p
c
p
+
b
p
c
p
3
)
1
/
p
.
{\displaystyle S\approx 4\pi \!\left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}.\,\!}
kjer uporaba vrednosti p ≈ 1,6075 da relativno napako do največ 1,061 %. Vrednost p = 8/5 = 1,6 je najboljša za skoraj okrogle elipsoide (z relativno napako približno 1,178 %).
Prostornina
Zaradi nenatančnega izražanja se izraz elipsoid včasih uporablja tudi za geometrijsko telo , ki ga omejuje zgoraj opisana ploskev.Prostornino tega telesa se izračuna z obrazcem:
V
=
4
3
π π -->
a
b
c
.
{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!}
Kadar so vse polosi enake, se dobi prostornino krogle , če sta po dve polosi enaki pa prostornine sferoidov.
Glej tudi
Zunanje povezave