Ekviparticijski izrek

Ekviparticíjski izrèk ali izrèk o enakomérni razdelítvi (energíje) v klasični statistični mehaniki trdi, da v povprečju odpade na vsako prostostno stopnjo, torej na vsak kvadratni člen v izrazu za polno energijo atoma ali molekule energija k_BT/2, pri čemer je k_B Boltzmannova konstanta, T pa absolutna temperatura.

Izpeljava ekviparticijskega izreka

Naj bo polna energija sistema E določena s f posplošenimi koordinatami q_k in f posplošenimi gibalnimi količinami p_k,

${\displaystyle E=E(q_{1},\ldots ,q_{f},p_{1},\ldots ,p_{f})\!\,.}$

Nadalje naj velja:

1. Energijo se lahko zapiše kot vsoto dveh členov, od katerih je prvi (ε_i) odvisen le od ene posplošene gibalne količine p_i, preostanek E' pa od te posplošene gibalne količine ni odvisen:

${\displaystyle E=\epsilon _{i}(p_{i})+E'(q_{1},\ldots ,p_{f})\!\,.}$

2. V funkciji ε_i nastopa posplošena gibalna količina p_i v kvadratu:

${\displaystyle \epsilon _{i}(p_{i})=bp_{i}^{2}\!\,.}$

Pri tem je b konstanta.

Opisana pogoja sta dobro izpolnjena, če je p_i gibalna količina - v kinetični energiji nastopa gibalna količina v kvadratu, potencialna energija pa od nje ni odvisna.

Vpraša se po povprečni vrednosti spremenljivke ε_i v toplotnem ravnovesju ob izpolnjenih obeh zgoraj navedenih pogojih. Za sistem v toplotnem ravnovesju velja Boltzmannova porazdelitev; skladno s tem se izračuna povprečno vrednost spremenljivke ε_i z integriranjem po celotnem faznem prostoru:

${\displaystyle {\overline {\epsilon _{i}}}={\frac {\int \exp[-\beta E(q_{1},\ldots ,p_{f})]\epsilon _{i}dq_{1}\cdots dp_{f}}{\int \exp[-\beta E(q_{1},\ldots ,p_{f})]dq_{1}\cdots dp_{f}}}\!\,.}$

Pri tem se je označilo β = 1/k_BT.

Skladno s prvim pogojem se lahko uporabi multiplikativnost eksponentne funkcije in integrala v števcu in imenovalcu se zapiše kot produkt dveh integralov:

${\displaystyle {\overline {\epsilon _{i}}}={\frac {\int \exp(-\beta \epsilon _{i})\epsilon _{i}dp_{i}\int '\exp[-\beta E(q_{1},\ldots ,p_{f})]\epsilon _{i}dq_{1}\cdots dp_{f}}{\int \exp(-\beta \epsilon _{i})dp_{i}\int '\exp[-\beta E(q_{1},\ldots ,p_{f})]dq_{1}\cdots dp_{f}}}\!\,.}$

S črtico je označeno integriranje po vseh spremenljivkah razen p_i. Ta integrala sta v števcu in imenovalcu enaka in se ju lahko pokrajša:

${\displaystyle {\overline {\epsilon _{i}}}={\frac {\int \exp(-\beta \epsilon _{i})\epsilon _{i}dp_{i}}{\int \exp(-\beta \epsilon _{i})dp_{i}}}\!\,.}$

Z upoštevanjem zveze:

${\displaystyle \int \exp(-\beta \epsilon _{i})\epsilon _{i}dp_{i}=-{\frac {d}{d\beta }}\ln \left[\int \exp(-\beta \epsilon _{i})dp_{i}\right]\!\,}$

se lahko izraz za povprečje ε_i zapiše kot:

${\displaystyle {\overline {\epsilon _{i}}}=-{\frac {d}{d\beta }}\ln \left[\int \exp(-\beta \epsilon _{i})dp_{i}\right]\!\,.}$

Skladno z drugo zahtevo pa se lahko zapiše:

${\displaystyle \int \exp(-\beta \epsilon _{i})dp_{i}=\int \exp(-\beta bp_{i}^{2})dp_{i}={\frac {1}{\sqrt {\beta }}}\int \exp(-by^{2})dy\!\,.}$

Pri tem se je označilo y = p_i √β. Odtod nadalje:

${\displaystyle \ln \int \exp(-\beta \epsilon _{i})dp_{i}=-{\frac {1}{2}}\ln \beta +\ln \int \exp(-by^{2})dy\!\,.}$

Drugi člen na desni strani sploh ni odvisen od β, zato v izrazu za povprečno energijo ε_i ob odvajanju po β odpade. Ostane:

${\displaystyle {\overline {\epsilon _{i}}}=-{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left(-{\frac {1}{2}}\ln \beta \right)={\frac {1}{2\beta }}\!\,.}$

Pokazalo se je, da ustreza kvadratnemu členu v polni energiji povprečna energija k_BT/2. Če nastopajo v polni energiji samo kvadratni členi, torej odpade na vsakega od njih v povprečju enak delež energije - odtod ime izreka.

Na začetku izpeljave se je privzelo, da se lahko energijo zapiše kot vsoto dveh členov, od katerih je eden kvadratna funkcija izbrane posplošene gibalne količine p_i, preostanek pa od nje ni odvisen. Izpeljava bi tekla podobno, če bi se podobno izvzelo eno posplošeno koordinato q_i in privzelo, da se lahko energijo piše v obliki ${\displaystyle E=\epsilon _{i}(q_{i})+E'(q_{1},...p_{f})}$.

Viri

• Pahor, Sergej (2001). Uvod v ravnovesno statistično fiziko. Ljubljana: Društvo matematikov, fizikov in astronomov Slovenije. COBISS 108489216.