Centralni moment

Centralni moment k-tega reda realne slučajne spremenljivke X za srednjo vrednost je v teoriji verjetnosti in statistiki moment, ki je enak

${\displaystyle \mu _{k}=E\left[(X-E[X])^{k}\right]}$

kjer je

• E operator pričakovane vrednosti slučajne spremenljivke.

Pri slučajnih spremenljivkah, ki nimajo določene srednje vrednosti, centralni moment ni določljiv. Za zvezne univariantne verjetnostne porazdelitve s funkcijo gostote verjetnosti f(x), je moment za srednjo vrednost enak

${\displaystyle \mu _{k}=E\left[(X-E[X])^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\,dx.}$

Za slučajne spremenljivke, ki nimajo srednje vrednosti (primer Caushyjeva porazdelitev), centralnega momenta ni možno določiti.

Za diskretno spremenljivko je odgovarjajoči obrazec enak

${\displaystyle \mu _{k}=\sum _{i=0}^{m}(x_{i}-\mu _{k})^{k}p_{x}(x_{i})}$

kjer je

• ${\displaystyle \mu \!}$ pričakovana vrednost (srednja vrednost)
• ${\displaystyle f(x)\!}$ verjetnostna porazdelitev.

Nekaj prvih centralnih momentov je tudi razumljivih in splošno uporabljanih

• ničelni (reda nič) centralni moment (µ₀) je 1
• prvi centralni moment (µ₁) je 0
• drugi centralni moment (µ₂) se imenuje varianca, ki se označuje z σ², kjer je σ standardni odklon
• tretji centralni moment (µ₃) se uporablja za definicijo standardiziranih momentov, ki se uporabljajo za definicijo koeficienta simetrije
• četrti centralni moment (µ₄) se uporablja za definicijo sploščenosti.

Lastnosti

• n-ti centralni moment je invarianta za premik (translacijo)

${\displaystyle \mu _{n}(X+c)=\mu _{n}(X).\,}$

• Za vse n je centralni moment homogen stopnje n

${\displaystyle \mu _{n}(cX)=c^{n}\mu _{n}(X).\,}$

• za vse n  ≤ 3

${\displaystyle \mu _{n}(X+Y)=\mu _{n}(X)+\mu _{n}(Y)\ \mathrm {za} \ n\leq 3.\,}$

Moment glede na izhodišče

Včasih je bolj ugodno, da določamo moment glede na izhodišče in ne glede na srednjo vrednost. Splošna formula za pretvorbo n-tega momenta glede na izhodišče v moment glede na srednjo vrednost je

${\displaystyle \mu _{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}(-1)^{n-j}\mu '_{j}\mu ^{n-j},}$

kjer je

• μ srednja vrednost porazdelitve

Moment glede na izhodišče pa je podan z

${\displaystyle \mu '_{j}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{j}f(x)\,dx.}$

Za primere, ko je n = 2, 3, 4 , ki so najbolj zanimivi, ker so povezani z varianco, koeficientom simetrije in sploščenostjo dobimo:

${\displaystyle \mu _{2}=\mu '_{2}-\mu ^{2}\,}$

${\displaystyle \mu _{3}=\mu '_{3}-3\mu \mu '_{2}+2\mu ^{3}\,}$

${\displaystyle \mu _{4}=\mu '_{4}-4\mu \mu '_{3}+6\mu ^{2}\mu '_{2}-3\mu ^{4}.\,}$.

Glej tudi

• standardizirani moment